Конспект урока: Магнитное поле. Индукция магнитного поля. Сила Лоренца. Линии магнитной индукции. Картины магнитных полей. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Пример решения задачи о движении заряжённых частиц в магнитном поле, индукция которых перпендикулярна скорости частицы

Пример 1

 

Частица массой $m$ и зарядом $q$ влетает со скоростью $v$ в магнитное поле. Вектор магнитной индукции $\overrightarrow{B}$ перпендикулярен вектору начальной скорости частицы. Пренебрегая действием всех сил, кроме сил со стороны магнитного поля, определить вид траектории частицы.

Рис. 1. Заряжённая частица движется в магнитном поле

Устройство и принцип действия циклотрона

В 1931 году американский физик Эрнест Лоуренс (1901–1958) создал ускоритель заряжённых частиц — циклотрон. В циклотроне заряжённая частица, двигаясь в однородном магнитном поле, перпендикулярном её скорости, многократно проходит зазор, в котором создано ускоряющее её движение электрическое поле.

Циклотрон состоит из двух полых металлических полуцилиндров — дуантов. Они находятся в вакуумной камере между полюсами мощного электромагнита, создающего постоянное однородное магнитное поле с индукцией $\overrightarrow{B}$, перпендикулярной плоскостям оснований полуцилиндров.

Заряжённые частицы из специального устройства со скоростью $\overrightarrow{v}$ влетают вблизи центра камеры в дуант 1. В результате действия магнитного поля частица, двигаясь внутри дуанта 1 по дуге радиуса $R$, через время $0,5 \tau$ вновь подлетает к зазору между дуантами. К этому моменту напряжение между дуантами увеличивают до амплитудного значения $U_0$, а его полярность делают такой, чтобы электрическое поле в зазоре ускоряло частицу. В результате пролёта зазора кинетическая энергия частицы увеличивается на величину $q·U_0$, где $q$ — заряд частицы. Поэтому внутри дуанта вторая частица будет двигаться по дуге окружности большего радиуса. Через время $0,5 \tau$ частица снова подлетит к зазору, к этому времени полярность напряжения между дуантами изменится на противоположное и т. д. Период изменения полярности напряжения между дуантами $T$ выбирают равным периоду обращения частицы $\tau$. Условие равенства периодов называют условием синхронизации. При выполнении этого условия разгоняющаяся частица будет двигаться по спирали, каждый раз увеличивая свою кинетическую энергию при прохождении зазора. 

Обычно ускоряемая частица до её вывода из циклотрона пролетает зазор между дуантами в ${10}^4-{10}^5$ раз. В настоящее время созданы источники, вырабатывающие напряжение амплитудой $U_0~10-40 кВ$, полярность которого изменяется с периодом $T={10}^{-7} с$. С помощью циклотрона удаётся увеличить кинетическую энергию частицы до $K=q·U_0·n\approx q·{10}^8 Дж.$

Рис. 2. Циклотрон

Для получения больших кинетических частиц в настоящее время используют фазотроны, синхротроны, синхрофазотроны. 

Масс-спектрографы и МГД-генераторы

В экспериментальной физике для измерения масс ионов разных веществ используют масс-спектрографы.

Рис. 3. Масс-спектрограф

В источнике частиц узкий пучок положительно заряжённых ионов пролетает систему фильтров скоростей. Чтобы выделить ионы с определёнными скоростями, их пропускают через диафрагмы, между которыми ионы движутся в электрическом и магнитном однородных полях. Для ионов, скорость которых при вылете направлена как на рис. 3, действие электрического и магнитного полей скомпенсировано. Только эти ионы могут пролететь через маленькое отверстие при вылете из источника. Далее ионы движутся по дугам окружностей, радиусы которых удовлетворяют соотношению (4). Удельный заряд ионов можно рассчитать по формуле $\frac{q}{m}=\frac{2U_0}{R^2·B^2}.$

Магнито-гидродинамические генераторы (МГД-генераторы) используют для непосредственного преобразования тепловой энергии в электрическую. Важным достоинством таких генераторов является отсутствие в них движущихся механических частей. В таких генераторах раскалённая плазма (электролит или жидкий металл) с большой скоростью впрыскивается в зону действия сильного магнитного поля. При этом разноимённо заряжённые частицы разделяются магнитной составляющей силы Лоренца и попадают на разные электроды. В результате между этими электродами возникает разность потенциалов.

Пример решения задачи о движении заряжённых частиц в магнитном поле, скорость которых направлена под углом к вектору магнитной индукции

Решение

 

Будем считать, что на частицу не действуют никакие силы, кроме магнитных. Разложим вектор скорости $\overrightarrow{v}$ на две составляющие: $v_{\perp }$ и $v_{\parallel }$(перпендикулярную вектору $\overrightarrow{B}$ индукции магнитного поля и параллельную). Из рис. 4 видим:

 

$v_{\perp }=v·\sin \phi$,

$v_{\parallel }=v·\cos \phi$.

 

Будем рассматривать движение частицы как суперпозицию движения в плоскости, перпендикулярной магнитной линии, и движения вдоль магнитной линии.

Рис. 4. Скорость частицы в магнитном поле направлена под углом к вектору магнитной индукции

Решая пример 1 этого параграфа, мы узнали, что на частицу, скорость которой перпендикулярна вектору $\overrightarrow{B}$, действует магнитная составляющая силы Лоренца. Изменение вектора скорости будет лежать в плоскости, перпендикулярной магнитным линиям. В результате частица будет равномерно двигаться по окружности, плоскость которой перпендикулярна магнитным линиям. Радиус этой окружности, согласно формуле (4), равен

 

$R=\frac{m·v_{\perp }}{q·B}=\frac{m·v·\sin \phi }{q·B}$                         (6).

 

Перейдём к составляющей скорости $v_{\parallel }$. Поскольку её направление параллельно направлению вектора B→, то действие магнитной составляющей силы Лоренца не будет влиять на скорость v∥. Отсюда можно заключить, что скорость v∥ будет оставаться постоянной. Таким образом, складывая два движения, получаем, что в рассматриваемом случае частица будет двигаться по спирали, где шаг спирали можно рассчитать по формуле

 

$h=v_{\parallel }·\tau =\frac{2\pi ·m·v·\cos \phi }{q·B}$.

 

Полученные результаты позволяют понять принцип магнитной фокусировки пучков заряжённых частиц. Если направления скоростей составляют небольшие углы с магнитной линией однородного поля, то через некоторое время все частицы пролетят через одну точку. Это и есть магнитная фокусировка. Её используют в электронно-лучевых трубках.

 

Ответ: частица будет двигаться по спирали.

Движение заряжённой частицы в неоднородном магнитном поле

Какие эффекты могут возникать при движении заряжённых частиц в неоднородном поле? Рассмотрим движение заряжённой частицы в неоднородном магнитном поле, созданном двумя одинаковыми катушками, оси которых совпадают, а расстояние между ними в несколько раз больше радиуса. Смотри рис. 5.

Рис. 5. Заряжённая частица в неоднородном магнитном поле

По катушкам текут одинаковые токи в направлениях, указанных на рис. 5. Когда частица удаляется от левой катушки, радиус витков её траектории увеличивается. Это обусловлено двумя причинами: во-первых, по мере удаления от катушки уменьшается модуль магнитной индукции магнитного поля; во-вторых, действующая на частицу магнитная составляющая силы Лоренца не только изменяет направление скорости частицы, но и увеличивает её модуль (за счёт действия компоненты $F_{л\parallel }$, параллельной оси катушек). В результате увеличивается и шаг спирали. Это продолжается до тех пор, пока частица не пролетит область наиболее слабого магнитного поля. После этого радиус витков траектории и шаг спирали уменьшаются. При определённых условиях проекция скорости частицы на ось катушек изменяет знак на противоположный, т. е. частица начинает удаляться от правой катушки, возвращаясь к левой. В результате частица движется в области пространства между катушками туда и обратно, оказываясь запертой в этой области. Эту область называют магнитной ловушкой. Магнитные ловушки используют в установках для исследования свойств высокотемпературной плазмы.

Магнитное поле Земли является своеобразным щитом, защищающим биологические организмы от губительного действия быстрых заряжённых космических частиц, летящих в основном от Солнца. Попадая в магнитное поле Земли, частицы оказываются в магнитной ловушке.