Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сложение и вычитание векторов

Векторы на плоскости и в пространстве

Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

План урока

 

  • Сумма двух векторов
  • Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Цели урока

 

  • Знать понятие суммы двух векторов, законы сложения векторов
  • Уметь строить сумму двух данных векторов, используя правила треугольника и параллелограмма

Разминка

 

  • Дайте определение вектора
  • Как обозначаются векторы?
  • Что значит нулевой вектор?
  • Какие векторы называются коллинеарными?
  • Какие векторы являются сонаправленными, противоположно направленными?
  • Какими свойствами обладают ненулевые коллинеарные векторы?
  • Что называется длиной (модулем) ненулевого вектора?
  • Сформулируйте определение равных векторов.
  • Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точки A».

 

Сумма двух векторов

Рис. 1. Перемещение Рис. 1. Перемещение
Пусть некоторый объект сначала находился в точке A, а потом переместился в точку В. Тогда его перемещение удобно обозначить с помощью вектора AB. Далее пусть этот объект из точки B переместился в другую точку C. С одной точки зрения, объект совершил сразу два перемещения, из A в B и из B в C, которые можно представить векторами: АВ и ВС. Но также можно считать, что в итоге совершено одно перемещение, из А в С, которому соответствует вектор АС (рис. 1).

Рис. 2. Сумма двух неколлинеарных векторов Рис. 2. Сумма двух неколлинеарных векторов
Тогда логично записать, что АС = АВ + ВС

Этот пример подсказывает нам универсальное правило, с помощью которого можно складывать векторы.

Его называют правилом треугольника.

С помощью правила треугольника удобно складывать векторы, если конец одного из них совпадает с началом другого. Но что делать, если это не так? В этом случае достаточно от конца одного вектора отложить вектор, равный второму (рис. 2). 

Сумма векторов a и b обозначается так: a+b.


Пример 1

Рис. 3. Пример 1 Рис. 3. Пример 1

На рисунке изображены два вектора. Постройте их сумму и найдите длину получившегося вектора. Длина клетки 1 ед.


Решение

Рис. 4. Сумма векторов <i>a</i> и <i>b</i> Рис. 4. Сумма векторов a и b
1. Перенесем начало вектора b к концу вектора a

2. По правилу треугольника найдём сумму a и b, обозначим полученный вектор c (рис. 4).

3. Найдём длину получившегося вектора: c — гипотенуза в прямоугольном треугольнике, длины катетов в этом треугольнике составляют 3 и 4. 

Тогда по теореме Пифагора:

|c|2 = |a|2 + |b|2

|c|2 = 42 + 32

|c|2 =  25

|c| = 5

 

Ответ: 5.


Рис. 5. Сумма двух сонаправленных векторов Рис. 5. Сумма двух сонаправленных векторов

Отдельно рассмотрим случаи, когда складываются коллинеарные векторы. В таком случае получающаяся сумма окажется коллинеарной каждому слагаемому.

Если векторы сонаправлены, то длина итогового вектора окажется равной сумме длин складываемых векторов (рис. 5).

Рис. 6. Сумма двух противоположно направленных векторов Рис. 6. Сумма двух противоположно направленных векторов
Если складываются противоположно направленные векторы, то длина их суммы окажется разностью длин складываемых векторов (рис. 6). 

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор a с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора a справедливо равенство а + 0 = а.


Пример 2

 

Лодка развивает в неподвижной воде скорость 8 км/ч. Она плывет по реке, скорость течения в которой составляет 2 км/ч. Найдите скорость лодки относительно берега, если: а) лодка плывет по течению; б) лодка плывет против течения.


Решение

Рис. 7. Скорость лодки по течению Рис. 7. Скорость лодки по течению

Во всех случаях итоговая скорость судна является векторной суммой собственной скорости лодки и течения реки. Однако направления этих векторов различны. Найдем решение графически, с помощью построений. Пусть ϑ1 – скорость лодки, ϑ2 – скорость течения реки.  Длина 1 клетки – 1 км/ч.

Рис. 8. Скорость лодки против течения Рис. 8. Скорость лодки против течения
1. В первом случае вектора по условию сонаправлены: приложив другу к другу отрезки длиной 8 и 2, получим отрезок длиной 10. Это значит, что в первом случае скорость лодки относительно берега составит 10 км/ч (рис. 7).

2. Во втором случае вектора уже окажутся противоположно направленными. Отрезок, соответствующий итоговой скорости, здесь уже равен 6 клеткам, значит, итоговая скорость составляет 6 км/ч (рис. 8). 

 

Ответ: а) 10 км/ч; б) 6 км/ч.


Результат с сложения (суммы) векторов а и b  не зависит от выбора точки , от которой откладывается вектор а.





Пример 3

Дано:  AB = MN, BC= NK.

Доказать: AC = MK.


Доказательство

Рис. 9. 1 случай Рис. 9. 1 случай
 

Рассмотрим случай, когда точки A, В, M, точки B, С, N и точки A, С, M не лежат на одной прямой (рис. 9).

 

1. Из равенства  АВ = MN следует, что стороны АВ и MN четырехугольника АВNM равны и параллельны, т.к. равные векторы сонаправлены и их длины равны, следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Поэтому AM = ВN, значит, и AMBN.

 

2. Аналогично из равенства BC = NK следует, что четырехугольник BCKN — параллелограмм. 

Поэтому BN = CK.

 

3. Так как AM = BN, BN = CK, то AM = CK
Таким образом AMKC — параллелограмм, и, значит, AC = MK

 

Что и требовалось доказать.


Данное правило справедливо для произвольных точек A, B и Cдаже в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.

 

Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

 

Действия с векторами во многом подобны действиям с обычными числами.


Теорема

Для любых векторов ab и c справедливы равенства:

10a + b = b + a ( переместительный закон );

20(a + b) +c = a+ (b +c) ( сочетательный закон ).


Рис. 10. Переместительный закон Рис. 10. Переместительный закон

Итак, a + b = b + a

Убедиться в этом можно, построив параллелограмм, сторонами которого являются складываемые векторы a и b (рис. 10). Видно, что по правилу треугольника  диагональ параллелограмма является суммой векторов, которые соответствуют нижней и крайней правой его стороне. Стороны обозначены как векторы a и b, причем в данном случае к  a прибавляется b

Но также полученная диагональ – это сумма векторов, которые соответствуют крайней левой и его верхней стороне. Знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому они и обозначены тоже векторами a и b соответственно. В этом случае уже к b прибавляется a. Результат при этом получается одинаковый, поэтому можно записать, что a + b = b + a.


Доказывая 10,  мы увидели, как работает ещё одно правило сложения векторов, которое называется  правилом параллелограмма .


Если есть два вектора, которые необходимо сложить, то можно отложить их от одной точки, а потом достроить получившуюся фигуру до параллелограмма.  Диагональ , исходящая из общей начальной точки векторов, будет искомой  суммой данных векторов


Рис. 11. Сочетательный закон Рис. 11. Сочетательный закон

20(a + b) +c = a+ (b +c). Убедиться в этом можно с помощью построения, используя правило треугольника. Рассмотрим рис. 11. Здесь оранжевый вектор – это сумма красного a и синего вектора b

Если к оранжевому вектору добавить зеленый c, то получится фиолетовый вектор, который, таким образом, является суммой (a + b) +c

Голубой вектор – это сумма синего и зеленого векторов, т.е. b +c. Видно, что фиолетовый вектор представляет собой сумму красного и голубого векторов, то есть он представляет сумму a+ (b +c). Таким образом, мы доказали, что (a + b) +c = a+ (b +c).


Упражнение 1

 

1. Лодка развивает в неподвижной воде скорость 8 км/ч. Она плывет по реке, скорость воды в которой составляет 2 км/ч. Найдите скорость лодки относительно берега, если лодка плывет перпендикулярно течению.

 

2. В квадрате ABCD, O − точка пересечения диагоналей, a = ОВ, b = ОС. Найдите векторы, равные сумме векторов a и b.


Контрольные вопросы

 

1. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чём заключается правило треугольника сложения двух векторов?

2. Докажите, что для любого вектора a справедливо равенство a + 0 = a

3. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения векторов.

4. Сформулируйте правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?


Ответы

 

Упражнение 1

 

1.  68 = 217

2 AB, DC

 

Пирамида

Пирамида
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История