Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Треугольники

Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

План урока

 

  • Синус, косинус, тангенс, котангенс
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Формулы для вычисления координат точки

Цели урока

 

  • Уметь строить единичную полуокружность.
  • Знать, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180º
  • Знать понятие тангенс угла α, для какого значения α тангенс не определён и почему
  • Знать понятие котангенс угла α, для какого значения α котангенс не определён и почему
  • Знать и уметь доказывать основное тригонометрическое тождество
  • Знать формулы приведения
  • Уметь применять формулы приведения при решении задач
  • Знать и уметь применять формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox

Разминка

 

  • Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите синус меньшего острого угла этого треугольника
  • Стороны прямоугольного треугольника равны 26 м, 24 м и 10 м. Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника
  • Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника

Рис. 1. Прямоугольный треугольник Рис. 1. Прямоугольный треугольник

 

Синус, косинус, тангенс, котангенс 

 

В курсе геометрии 8 класса, вы познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Вспомним их:


Синусом острого угла α прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:  sinα=ac=BCBD (рис.1).

 

Косинусом острого угла α прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cosα=bc=CDBD  (рис.1).

 

Тангенсом острого угла α  прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tgα=ac=BCCD; tgα= sinαcosα (рис.1).

 

Котангенсом острого угла α  прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgα=ba=CDBC;  ctgα=cosαsina  (рис.1).


Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30, 45 и 60 градусов. Вспомним ее:

 

угол, α    

30°           

45°           

60°           

sin α

12

22

32

cos α

32

22

12

tg α

33

1

3

ctg α

3

1

33

 

Рис. 2 . Полуокружность Рис. 2 . Полуокружность

Познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0° до 180º.

Построим в прямоугольной системе координат полуокружность, радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат (рис. 2). 

Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки O проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность в точке М (x; y). Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за α. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то угол α  равен 0º. Если луч h совпадает с осью Oy, то угол α = 90º. Если луч h совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, то угол α = 180º. 

Опустим из точки М перпендикуляр MD на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник OMD. Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM = 1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD = y, а ОD = x. Тогда sinα=MDOM=y1=y,  cosα =ODOM=x1= x Мы получили, что синус острого угла α равен ординате точки М, а косинус острого угла α равен абсциссе точки М.  

По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.


Для любого угла 0° ≤ α ≤ 180º  синусом угла α  называется  ордината y  точки M, а  косинусом угла α - абсцисса x  точки M. 


Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменяться от 0 до 1, значит, и синус угла α из промежутка от 0° до 180º может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменяться от -1 до 1, то есть и косинус угла α  из промежутка от 0° до 180º может изменяться от -1до 1.


0 ≤ y ≤ 1 , следовательно,  0 ≤ sinα  ≤ 1 ;

-1 ≤ x ≤ 1 , следовательно,  -1 ≤ sinα ≤ 1 .


Пример 1

 

Может ли: а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна 0,5; 14;-13; 5?  

б) ордината точки единичной полуокружности быть равна 0,7; 13; -14 7?


Решение

 

а) Поскольку полуокружность единичная, значит, абсцисса точки должны принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна 0,5; 14; -13, но не может быть равна 5.

б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна 0,7; 13, но не может быть равна -14; 7.


Рис. 3. Полуокружность Рис. 3. Полуокружность

Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА (рис. 3). На единичной полуокружности точка A имеет координаты (1; 0), значит, 

sin 0º = y = 0, а cos 0º = x = 1.

Найдем теперь значение sin 90º и 

cos 90º. Этот угол задается лучом OB. Координаты точки B равны (0; 1), значит, 

sin 90º = y = 1, cos 90º = x = 0.

Проводя аналогичные рассуждения, получим 

sin 180º = y = 0, а cos 180º = x = - 1.

Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:

 

угол, α     

30°          

45°          

60°          

0°          

90°          

180°          

sin α

12

22

32

0

1

0

cos α

32

22

12

1

0

-1

 


Пример 2

 

Определить координаты точки M (x; y) (рис.2), если:

а)  α = 30°; б)  α = 45°; в) α = 90°;


Решение

 

а) cos 30º = x = 32; sin 30º = y = 12, следовательно, M (32; 12).

б) cos 45º = x = 22; sin 45º = y = 22, следовательно, 

M (22; 22).

в) cos 90º = x = 0; sin 90º = y = 1, следовательно, M (0; 1).

 

Ответ: а) M(32; 12); б) M(22; 22); в) M(0; 1).


Тангенсом острого угла мы называли отношение синуса этого угла к его косинусу, т.е. tgα=sinαcosα.  Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его косинус равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточним определение тангенса.


Тангенсом угла  α, где 0° ≤ α ≤ 180º, α≠ 90ºназывается отношение синуса этого угла к его косинусу

 

 tgα=sinαcosα


Котангенсом острого угла мы называли отношение косинуса этого угла к его синусу, т.е. ctgα=cosαsinα. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то синус этих углов равен 0, а, значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому ctg 0° и  ctg 180° не существует. Таким образом, уточним определение котангенса.


Котангенсом угла  α, где 0° < α<180º, называется отношение косинуса этого угла к его синусу

 

ctgα=cosαsinα


Дополним известную нам таблицу синусов косинусов, тангенсов и котангенсов:

 

угол, α   
30°      
45°      
60°      
0°        
90°      
180°    
sin α
12
22
32
0
1
0
cos α
32
22
12
1
0
-1
tg α
33
1
3
0
-
0

ctg α

3
1
33
-
0
-

 

Рис. 4. Окружность (O; 1) Рис. 4. Окружность (O; 1)

Основное тригонометрическое тождество

 

Вспомним уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x0; y0): (x-x)2+(y-y)2=r2

Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: x2 + y2 = r2.

Наша единичная полуокружность – это часть окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис.4). Тогда уравнение этой окружности можно записать в виде x2 + y2 = 1.

То есть координаты всех точек должны удовлетворять этому уравнению.

Но координаты точки окружности есть не что иное, как косинус и синус угла, который соответствует этой точке. 

Тогда sin2α + cos2α=1.


Равенство  sin2α + cos2α=10°  α  180º , называется  основным тригонометрическим тождеством .


Пример 3

 

Найдите sinα, если cosα  =  12:


Решение

 

sin2α+cos2α=1 

sin2α=1-cos2α;

 sin2α=1(12)2=1-14=34

sinα= (34)= 32

Ответ: sin α= 32


Рис. 5. Полуокружность (O; 1) Рис. 5. Полуокружность (O; 1)

Вернемся к единичной полуокружности и проведем два луча ОМ и OB (рис. 5).

Из точки М опустим два перпендикуляра к осям Oy и Ox и обозначим точки пересечения этих прямых с осями точками C и D соответственно.

Очевидно, ∠DOB = 90°.  Если ∠DOM = α, то ∠BOM = 90° - α. Рассмотрим DОМ и МОC. Это прямоугольные треугольники с общей гипотенузой ОМ: sinα=MDOM, cosα =ODOM, sin(90°-α)=CMOM,  CM = OD, следовательно,  sin(90°-α)=ODOM, cosα (90°-α)=OCOM, OC = DM, следовательно, cos(90°-α)=DMOM 

Посмотрим на полученные равенства. 

Итак, если 0° ≤ α ≤ 90º, то sin(90°-α)=cosα; cos(90°-α)=sinα

Аналогично выводятся формулы cos(180°-α)=- cosα  для всех углов α из промежутка от 0º до 180º. Эти формулы называются формулами приведения.

Итак,


Если 0° ≤ α ≤ 90º, то

sin(90°-α)=cosα; cos(90°-α)=sinα .

 

Если 0° ≤ α ≤ 180º, то

sin(180°-α)=sinα, cos(180°-α)=- cosα .

Проверим выполнение этих формул на конкретном примере.


Пример 4

 

Вычислите а) sin 30º; б) sin 120º 


Решение

 

а) sin30°=cos(90°-30°)=cos60°=12

б) sin120°= sin(180°-120°)= sin60°=32

Ответ: a)12; б)32


Рис. 6. Полуокружность (O; 1) Рис. 6. Полуокружность (O; 1)

Формулы для вычисления координат точки

 

Рассмотрим задачу: необходимо определить координаты точки A, которая расположена в верхней координатной полуплоскости. Построим в этой полуплоскости единичную полуокружность. Соединим точку A с центром полуокружности, обозначим за М точку пересечения отрезка ОА и полуокружности. Координаты точки М (cosα; sinα) (рис. 6).

Определим координаты вектора

OM{cosα-0; sinα-0}=OM{cosα; sinα.} OMOA,|OM|=1, следовательно, OA=OA·OM={OA·cosα; OA·sinα} 

С другой стороны, OA{x-0; y-0}=OA{x; y}

Таким образом, x=AO·cosα; y=AO· sinα, следовательно A (AO·cosα; AO·sinα).

Проанализируем знаки координат точки A. Координаты точки зависят от величины отрезка ОА, (а это всегда положительное число), и от знака синуса и косинуса угла α. Синус произвольного угла из промежутка от 0°до 180º находится в промежутке от 0 до 1, то есть принимает неотрицательные значения. Косинус угла может принимать значения от -1 до 1, то есть быть как положительным, так и отрицательным. Значит, можно записать, что y ≥ 0 при 0° ≤ α ≤ 180º; x ≥ 0 при 0° ≤ α ≤ 90º и x ≤ 0 при 90° ≤ α ≤ 180º.


Пример 5

 

Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен α. Найдите координаты точки A (x; y), 

если: OA = 3 и α =45º.


Решение

 

1. x=AO·cosα;  y=AO·sinα;

2. sin45°=22, значит, y=322=322

3. cos45°=22, значит, x=322=322

4. A (322322).

 

Ответ: A (322322).


Упражнение 1

 

1. Может ли: а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равна 0,6; 17-14; 4?  

б) ордината точки единичной полуокружности быть равна 0,5; 16-15; 6?

2. Определите координаты точки M (x; y) (рис.2), если:

а)  α = 60°; б)  α = 180°.

3. Вычислите  а) cos 30º; б) cos 120º 

4. Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен α. Найдите координаты точки A (x; y), 

если: OA = 2 и α = 30º.


Контрольные вопросы

 

1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

2. Объясните, что такое синус и косинус угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180º. 

3. Что называется тангенсом угла α? Для какого значения α тангенс не определён и почему?

4. Что называется котангенсом угла α? Для какого значения α котангенс не определён и почему?

5. Докажите основное тригонометрическое тождество.

6. Напишите формулы приведения.

7. Назовите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.


Ответы
 

  1. а) 0,6; 17-14  - может; 4 – не может; б) 0,5; 16 – может; -15; 6 – не может.
  2. а) M (3212); б) M (-1; 0).
  3. а) 32; б) -12
  4. A(3; 1).

 

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Треугольники
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История