Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Динамика равномерного движения материальной точки по окружности. Решение задач динамики равномерного движения по окружности

Динамика

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

План урока

  • Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Цели урока

  • Знать: как применять второй закон Ньютона для описания движения тела, движущегося по окружности; понятие критической угловой скорости
  • Уметь: вычислять критическую угловую скорость; графически изображать направления сил, действующих на тело, движущееся по окружности

Разминка

  • Сформулируйте второй закон Ньютона.
  • Куда направлена сила трения, действующая на тело, движущееся по окружности?
  • Куда направлена равнодействующая сил тела, движущегося по окружности?

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

 

Вам уже известно, что материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью v, при этом направление вектора скорости постоянной меняется и в любой момент времени направлено по касательной к окружности, по которой движется тело.
 

Благодаря изменению направления вектора скорости v тело, движущееся по окружности, обладает центростремительным ускорением, которое в любой момент времени направлено к центру окружности и вычисляется по следующей формуле:

aцс=v2R=ω2·R.

 

По второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение: 

 

F=m·a

 

Тогда сумма сил, действующих на движущееся по окружности тело, вычисляется по следующей формуле:

F=m·aцс.


В инерциальной системе отсчета сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: F=m·aцс.


Из соотношения выше следует два важных вывода.
 

Во-первых, равнодействующая сил, действующих на тело, равномерно движущееся по окружности, в любой момент времени направлена к центру окружности.
 

Во-вторых, модуль суммы сил может быть рассчитан по следующим формулам:
 

F=m·aцс=m·v2R=m·ω2·R.
 

При решении задач на движение материальной точки по окружности рекомендуется придерживаться следующих правил:

 

  • началом отсчета является центр окружности;
  • координатную ось проводят через начало отсчета и точку на окружности, в которой в данный момент находится тело;
  • положительное направление оси ОХ совпадает с направлением равнодействующей, то есть ось направлена к центру.

 

Такой выбор системы отсчета не случаен: проекции центростремительного ускорения и суммы всех сил на ось ОХ в данном случае будут положительны, благодаря чему будет справедливо следующее равенство:

 

F=Fx=m·aцс.

 

Рис. 1. Тело покоится на вращающемся шероховатом диске Рис. 1. Тело покоится на вращающемся шероховатом диске

Пусть на вращающемся вокруг вертикальной оси шероховатом диске покоится небольшое тело массой m (рис. 1). Угловая скорость диска равна ω. Расстояние от оси вращения до тела равно R. Определите силу трения покоя между диском и покоящимся телом.

Примем рассматриваемое тело за материальную точку. Систему отсчета свяжем с Землей. За начало отсчета примем неподвижный центр диска О.

 

Ось ОХ проводим через центр окружности и начальную точку А, в которой в начальный момент находится тело (рис. 2). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности диска.

Рис. 2. Направление сил, действующих на тело, движущееся по окружности Рис. 2. Направление сил, действующих на тело, движущееся по окружности

 

На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.
 

По направлению сил очевидно, причиной возникновения центростремительного ускорения является сила трения.
 

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

 

Fтр+m·g+N=m·aцс.

 

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:

OX: Fтр=m·aцс;

OY: N-m·g=0.

 

Так как тело покоится относительно диска, Fтр – это трение покоя, тогда справедливо следующее выражение:
 

Fтрμ·N.
 

Учитывая формулу для центростремительного ускорения, получаем следующую систему:

Fтр=m·ω2·RN=m·g
 

Подставим в выражение Fтрμ·N полученную формулу для силы трения и выразим угловую скорость:
 

m·ω2·Rμ·Nm·ω2·Rμ·m·gω2·Rμ·g;
 

ωкр=μ·gR2.
 

Соотношение выше показывает максимальное значение угловой скорости ωкр, при которой тело, находящееся на вращающейся поверхности, будет оставаться в покое относительной данной поверхности. Если скорость вращающегося диска будет больше величины ωкр=μ·gR2, тело соскользнет с его поверхности.


Критическая угловая скорость ωкр – это максимальное значение угловой скорости, при которой тело, находящееся на вращающейся поверхности, в инерциальной системе отсчета остается в покое: ωкр=μ·gR2.


Рис. 3. Центростремительное ускорение вызвано действием силы T Рис. 3. Центростремительное ускорение вызвано действием силы T

Выражение выше показывает: чем больше коэффициент трения, тем больше значение критической угловой скорости ωкр, при которой тело будет оставаться в покое относительно вращающегося диска. С другой стороны, чем больше расстояние от тела до центра окружности диска, тем меньше значение ωкр.
 

Таким образом, чтобы удержаться на вращающейся поверхности, необходимо увеличить коэффициент трения и сократить расстояние до оси вращения.

В рассматриваемом примере центростремительное ускорение являлось результатом действия силы трения. Источником центростремительного ускорения могут быть и другие силы или сумма сил.

Рис. 4. Центростремительное ускорение вызвано действием сил mg и N Рис. 4. Центростремительное ускорение вызвано действием сил mg и N


Например, при раскручивании тела, привязанного к нити, в плоскости, перпендикулярной поверхности Земли, в нити возникает сила натяжения нити, направленная к оси вращения (рис. 3).
 

В случае, если тело, привязанное к нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 4), центростремительное ускорение является следствием действия равнодействующей F силы тяжести и силы натяжения нити.

Итоги

 

  • В инерциальной системе отсчета сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: F=m·aцс;
  • Модуль этой силы можно вычислить по следующей формуле: 
    F=m·v2R=m·ω2·R;
  • Критическая угловая скорость ωкр  – это максимальное значение угловой скорости, при которой тело, находящееся на вращающейся поверхности, в инерциальной системе отсчета остается в покое: ωкр=μ·gR2


Контрольные вопросы

 

1. Чему равна сумма всех сил, действующих на равномерно движущееся по окружности тело?
2. Что такое критическая угловая скорость?
3. Как увеличить значение критической угловой скорости?


Динамика. Инерциальная система отсчёта. Первый закон Ньютона. Сила

Динамика
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История