Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Сложение и умножение вероятностей

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Сложение и умножение вероятностей

План урока

  • Несовместные события. Правило сложения вероятностей;
  • Независимые события. Правило умножения вероятностей.

Цели урока

  • Уметь определять несовместные и независимые события;
  • Знать, какие события называются независимыми, несовместными;
  • Уметь применять правила сложения и умножения вероятностей для решения задач.

Разминка

  • Какова вероятность, что телефонный номер заканчивается чётной цифрой?
  • Чему равна вероятность вытащить белый шар из коробки, в которой 15 белых и 10 черных шаров?
  • Если вероятность попадания по мишени равна 0,87, то чему равна вероятность промаха?

Несовместные события. Правило сложения вероятностей

 

Часто задачи на нахождение вероятности не решить с помощью классического подхода. Поэтому в теории вероятности точно так же, как и в других разделах математики, существуют свои правила и законы, которые помогают решить эти задачи.

 

Рассмотрим пример. В магазине на полке бестселлеров стоит 3 детектива, 4 книги по психологии и 8 романов. С полки выбирают одну книгу. Пусть событие A — взяли детектив, событие B — взяли книгу по психологии, C — взяли роман.

 

Обратим внимание, что если с полки взяли книгу, то может произойти одно из событий AB или C, причём они не могут произойти вместе, т.е. наступление каждого из них исключает наступление других. Говорят, что события A,B и C являются несовместными .


Несколько событий называются несовместными , если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, т. е. наступление одного исключает наступление другого.


Теперь рассмотрим событие D — с полки не взяли роман. Другими словами, с полки взяли детектив или книгу по психологии. Учитывая, что на полке стоит всего 15 книг (3+4+8), найдем вероятность событий AB и D:

 

P(A)=315,                  P(B)=415,                   P(D)=715

 

Вероятности этих событий связаны следующим соотношением:

 

P(A)+P(B)=P(D).

 

На самом деле подобным соотношением связаны все несовместные события.


Если событие D означает, что наступает одно из двух несовместных событий A или B, то вероятность события D равна сумме вероятностей событийA и B, т. е.

 

P(D)=P(A)+P(B).


Пример 1

В онлайн-магазине при покупке от 500 рублей покупателю дарят подарок. Вероятность того, что это будет кружка равна 0,3, а вероятность, то что это будет свечка — 0,15. Какова вероятность того, что покупателю не положат в подарок кружку или свечку.

 

Решение

 

Пусть событие A — положили кружку, событие B — положили свечку, C — положили свечку или кружку, а событие D — не положили свечку или кружку.

 

События C и D являются противоположными, так же событие C означает, что наступает одно из двух несовместных событий A или B.

 

Тогда имеем следующие соотношения:

 

P(C)+P(D)=1 и P(C)=P(A)+P(B).

 

Нам необходимо найти вероятность события D. Получим

 

P(D)=1-P(C)=1-(P(A)+P(B))=1-(0,3+0,15)=0,55.

 

Ответ: 0,55.


Упражнение 1

1. В забеге на 1 500 метров участвуют два девятиклассника Ваня и Толя. Эксперты полагают, что вероятность победы Вани составляет 0,26, а шансы Толи оцениваются в 0,04. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет девятиклассник?

2. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,17; 9 баллов с вероятностью 0,14; 8 баллов с вероятностью 0,23. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?


Независимые события. Правило умножения вероятностей

 

В теории вероятности очень часто события происходят совместно. Определим правило нахождения вероятности совместного наступления независимых событий.


События называются независимыми , если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления других событий.


Рассмотрим ещё один пример. Игральный кубик бросают дважды. Игрок выигрывает, если в первый раз выпадает нечетное число, а во второй раз — число меньше 3. Какова вероятность выигрыша?

 

Пусть событие A — в первый раз выпало нечетное число, событие B — во второй раз выпало число меньше 3, событие C — выигрыш игрока. Обратим внимание, что события A и B являются независимыми.

 

Найдем вероятность каждого события по отдельности. Число благоприятных исходов для A равно трём (число 1, 3, 5), для B — двум (числа 1 и 2). Общее число исходов для каждого из этих двух событий равно шести, тогда

 

P(A)=36 и P(B)=26.

 

Для события C, необходимо воспользоваться комбинаторным правилом умножения. Количество благоприятных исходов для события C равно произведению 3×2 (для первого броска соответствуют три возможных выпадения: 1, 3 и 5, а для второго – два: 1 и 2), а количество всех исходов для события C равно произведению 6×6 (каждому из 6 выпавших чисел в первый раз соответствуют 6 возможных выпавших чисел во второй раз). Тогда

 

P(C)=3×26×6=36×26,

 

т. е.

 

P(C)=P(A)×P(B).

 

На самом деле подобным соотношением связаны все независимые события.


Если событие C означает совместное наступление двух независимых событий A и B, то вероятность события C равна произведению вероятностей событий A и B, т. е.

 

P(C)=P(A)×P(B).


Пример 2

В классе есть два друга: Артем и Егор. Вероятность, что Артем напишет контрольную на «отлично» равна 0,8, а Егор — 0,6. Найдите вероятность того, что оба мальчика не напишут контрольную на отлично.

 

Решение

 

Пусть   событие   A   —   Артем   написал    на   отлично,   а   A   —   противоположное

к A, событие B — Егор написал на отлично, а B — противоположное к B.

 

Найдем вероятности событий A и B:

 

P(A)=1-P(A)=1-0,8=0,2,

 

P(B)=1-P(B)=1-0,6=0,4.

 

Пусть событие C — Артем и Егор не написали контрольную на отлично. Событие C означает совместное наступление двух независимых событий A и B. Тогда

 

P(C)=P(A)×P(B)=0,2×0,4=0,08.

 

Ответ: 0,08.


Упражнение 2

1. Ученик решает две задачи. Вероятность сделать в первой задаче ошибку составляет 0,05, а второй задаче — 0,2. Ученик получит дополнительную задачу, если обе задачи будут сделаны с ошибкой. Какова вероятность получить дополнительную задачу?

2. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,4, а из второго — 0,6. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?


Контрольные вопросы 

 

1. Какие события называются несовместными? Приведите примеры.

2. Какие события называются независимыми? Приведите примеры.

3. В каком случае нужно сложить вероятности, а в каком умножить?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 0,3.                2. 0,46

 

 

Упражнение 2

 

1. 0,01.                2. 0,52


Сочетания

Элементы комбинаторики и теории вероятностей
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История