Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Признаки подобия треугольников

Треугольники

Признаки подобия треугольников

План урока

  • Признаки подобия треугольников;
  • Примеры применения признаков подобия треугольников.

Цели урока

  • Знать признаки подобия треугольников;
  • Уметь доказывать подобие треугольник с применением признаков подобия.

Разминка

  • Какие треугольники называют подобными?
  • Какие отрезки называют пропорциональными?
  • Какими свойствами обладают параллельные прямые?

Первый признак подобия треугольников


Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

 

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Доказательство

 

Рассмотрим ABC и A1B1C1 в которых A=A1C=C1 (рис. 1). Докажем, что  ABC ~ A1B1C1.

По теореме о сумме углов треугольника

 

B=180°-A-C,

B1=180°-A1-C1, следовательно B=B1. Углы треугольника ABC равны углам треугольника A1B1C1

Рис. 1. К доказательству первого признака подобия треугольников Рис. 1. К доказательству первого признака подобия треугольников

Докажем пропорциональность сторон треугольников ABC и A1B1C1. Поскольку треугольники имеют равные углы, воспользуемся теоремой об отношении площадей треугольников с равными углами:

 

SABC/SA1B1C1=AB·ACA1B1·A1C1=BC·ACB1C1·A1C1= =AB·BCA1B1·B1C1.

 

Следовательно,

 

ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1.

 

Стороны треугольника ABC пропорциональны сходственным сторонам треугольника A1B1C1, следовательно ABC ~ A1B1C1 по определению.

 

Теорема доказана.


Пример 1

 

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и K соответственно так, что MKACMB:MA=2:5. Найдите площадь четырехугольника AMKC, если площадь треугольника ABC равна 98 см2.


Решение

Рис. 2. К решению примера 1 Рис. 2. К решению примера 1

Рассмотрим треугольник ABCMKAC (рис. 2).

 

В треугольниках ABC и MBK BAC=BMKBCA=BKM как соответственные углы при параллельных прямых MK и  AC и секущих ABBC соответственно, следовательно ABC ~ MBK по двум углам.

В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны 

 

ABMB=BCBK=ACMK=k,

 

т.к. MB:MA=2:5, то k=ABMB=3,5. По теореме об отношении площадей подобных треугольников

 

 SABCSMBK=k2=(3,5)2=12,25.

SABC=98см2SMBK=98:12,25=8 см2.

SAMKC=SABC-SMBK=98-8=90 см2.

 

Ответ: 90 см2.


Второй признак подобия треугольников


Теорема (признак подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

 

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.


Доказательство

Рис. 3. К доказательству второго признака Рис. 3. К доказательству второго признака

Рассмотрим ABC и A1B1C1ABA1B1=ACA1C1A=A1 (рис. 3). Докажем, что ABC ~ A1B1C1.

 

Рассмотрим треугольник AB2C, в котором 1=A12=C1 (рис. 3). Треугольники AB2C и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, тогда AB2A1B1=ACA1C1.

 

По условию ABA1B1=ACA1C1, следовательно AB=AB2

 

Треугольники ABC и AB2C равны по двум сторонам и углу между ними ( AC – общая сторона, AB=AB21=BAC). Тогда ACB=2 и 2=С1, значит С=С1. Треугольники ABC и AB2C подобны по первому признаку.

 

Теорема доказана.


Пример 2

 

Прямая, пересекающая стороны BA и BC треугольника ABC, делит каждую из них в отношении m:n, считая от вершины B. Докажите, что данная прямая параллельна стороне AC.


Решение

Рис. 4. К решению примера 2 Рис. 4. К решению примера 2

Пусть в треугольнике ABC прямая DE пересекает стороны  BA и BC в точках D и E соответственно (рис. 4), причем BDAD=BECE=mn.

 

Рассмотрим треугольники ABC и DBE, в которых B – общий, ABBD=BCBE=m+nm.

 

Следовательно ABC ~ DBE по второму признаку подобия. В подобных треугольниках соответственные углы равны, значит BAC=BDE, а это соответственные углы при прямых AC и DE и секущей AB, поэтому DEAC, что и требовалось доказать.


Третий признак подобия треугольников


Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

 

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.


Доказательство

Рис. 5. К доказательству третьего признака Рис. 5. К доказательству третьего признака

Пусть стороны треугольников ABC и A1B1C1 пропорциональны:

 

ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1.

 

Докажем, что ABC ~ A1B1C1.

 

По второму признаку подобия для этого достаточно доказать, что A=A1.

Рассмотрим треугольник AB2C, у которого 1=A12=C1 (рис. 5). Треугольники AB2C и A1B1C1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому 

 

AB2A1B1=ACA1C1=B2CB1C1.

 

По условию ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1.

Таким образом, AB=AB2BC=B2C. Треугольники ABC и AB2C равны по трем сторонам, следовательно 1=BAC, а т.к. 1=A1, то BAC=A1. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по второму признаку. 

 

Теорема доказана.


Пример 3

 

Основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника равны 12 см и 10 см, а основание другого равнобедренного треугольника и проведенная к нему медиана равны 18 см и 12 см. Подобны ли данные треугольники?


Решение

Рис. 6. К решению примера 3 Рис. 6. К решению примера 3

Рассмотрим равнобедренные треугольники ABC  и MNKAB=BC=10 смAC=12 смMK=18 смNH – медиана и высота треугольника MNK, проведенная к основанию, NH=12 см (рис. 6).

В треугольнике MNH MH=9 смNH=12 смH=90° по теореме Пифагора MN2=NH2+MH2MN=92+122=15 (см).

 

Проверим пропорциональность сторон треугольников ABC  и MNK:

 

1015=1218=1015.

 

Следовательно, ABC ~ MNK по третьему признаку.

 

Ответ: треугольники подобны.


Рис. 7. К задаче 1 Рис. 7. К задаче 1

Упражнения

 

1. По данным рис. 7 докажите подобие треугольников  и .

2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что AOD ~ BOC. Найдите AD, если BC=4 смOB=6 смOA=9 см.

3. На одной стороне неразвернутого угла O отложены отрезки OA=9 см и OB=12 см, а на другой стороне — отрезки OC=6 см и OH=18 см. Подобны ли треугольники OAC и OBH? Подобны ли треугольники OBC и OHA?

4. Определите, подобны ли треугольники со сторонами:

а) 3, 4, 6 и 9, 15, 18; 

б) 2, 3, 3 и 8, 12, 12.


Контрольные вопросы

 

1. В треугольниках ABC и A1B1C1  ABA1B1=BCB1C1=k. Какое равенство необходимо добавить к условию, чтобы можно было доказать подобие этих треугольников? Назовите все возможные варианты ответа.

2. Даны треугольники ABC и KMN, в которых ABKN=BCMN=ACMK. Назовите угол треугольника KMN, равный углу C. Почему эти углы равны?

3. Даны треугольники ABC и KMN, в которых ABBC=MNNK и B=N. Назовите угол треугольника ABC, равный углу M. Почему эти углы равны?

4. Могут ли быть подобными:

а) прямоугольный и равнобедренный треугольники;

б) прямоугольный и равносторонний треугольники;

в) треугольник с углом 50° и треугольник с углом 100°;

г) треугольник с углом 60° и треугольник с углом 120°?

5. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют:

а) по равному острому углу;

б) по равному тупому углу?

6. Два подобных треугольника имеют общий угол. Обязательно ли их стороны, противолежащие этому углу, параллельны? Приведите контрпример.


Ответы на упражнения

1. а) подобны по первому признаку;

    б) подобны по второму признаку;

    в) подобны по третьему признаку.

2. Треугольники AOD и BOC подобны по первому признаку, AD=6 см.

3. OAC и OBH не являются подобными; OBCOHA по второму признаку.

4. а) нет; б) да.

Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур

Треугольники