Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Описанная окружность

Окружность

Описанная окружность Описанная окружность около треугольника. Описанная окружность около четырёхугольника Описанная окружность около параллелограмма (прямоугольника). Описанная окружность около трапеции. Описанная окружность около ромба (квадрата)

План урока

  • Определить понятие описанной окружности, вписанного многоугольника;
  • Доказать теорему об окружности, описанной около треугольника;
  • Доказать признак и свойство вписанного четырехугольника;
  • Рассмотреть свойства вписанного параллелограмма, трапеции, ромба.

Цели урока

  • Знать определение описанной окружности, вписанного многоугольника, теорему о вписанном треугольнике, признак и свойство вписанного четырехугольника;
  • Уметь применять свойства описанной окружности при решении задач.

Разминка

  • Каким свойством обладает серединный перпендикуляр к отрезку?
  • В равнобедренный треугольник с углом при основании 40° вписана окружность. Найдите угол между радиусами, проведенными в точки касания окружности с боковыми сторонами треугольник.
  • Найдите периметр равнобедренного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 9 см, начиная от основания.

Описанная окружность около треугольника


Определение

 

Окружность называется  описанной около многоугольника , если все его вершины лежат на окружности. Многоугольник при этом называется  вписанным в окружность .


Рис. 1. Окружность, описанная около треугольника ABC Рис. 1. Окружность, описанная около треугольника ABC

Окружность называется  описанной около треугольника , если все вершины треугольника лежат на данной окружности. 

 

В этом случае говорят, что треугольник является  вписанным в  данную окружность . На рис. 1 окружность с центром O описана около треугольника ABC. Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.


Теорема (об окружности, описанной около треугольника)

 

Около любого треугольника можно описать окружность, и притом единственную. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.


Доказательство

Рис. 2. К доказательству теоремы об окружности, описанной около треугольника Рис. 2. К доказательству теоремы об окружности, описанной около треугольника

Пусть прямые a и b — серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC данного треугольника ABC (рис. 2). 

 

Мы уже доказали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин треугольника. Таким образом, a и b пересекаются в точке O и OA=OB=OC. Следовательно, существует окружность с центром O, проходящая через все вершины треугольника ABC.

 

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна. 

 

Допустим, что около треугольника можно описать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с O — точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 

 

Радиус этой окружности равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной. 

 

И наконец, серединный перпендикуляр с к стороне AC содержит все точки, равноудаленные от точек A и C. Поскольку точка O также равноудалена от точек A и C, то этот серединный перпендикуляр проходит через точку O

 

Теорема доказана.


Пример 1

 

Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника с периметром  273 см.


Решение

Рис. 3. К примеру 1 Рис. 3. К примеру 1

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, периметр которого равен  273 см, следовательно, длина стороны этого треугольника 93 см. Центр окружности, описанной около треугольника это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, для равностороннего треугольника это точка пересечения высот и медиан, точка O (рис. 3).Найдем длину отрезка OC – радиуса описанной окружности.

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACD найдем длину медианы CD

 

AC=93 смAD=932 смCD=932-9322=13,5 см.

 

 По свойству медиан треугольника, точка O делит отрезок CD в отношении 2:1 считая от вершины, следовательно 

 

OC=23 CD=23·13,5 см=9 см.

 

Ответ: 9 см.


Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Радиус этой окружности равен половине гипотенуза (докажите этот факт самостоятельно).


Упражнение 1

 

1. Около равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) описана окружность с центром O.

а) Докажите, что AOB=COB.

б) Найдите угол AOC, если ABC=40°.

2. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABCOD — расстояние от точки O до стороны AB. Найдите длину отрезка AB, если AD=9 см.


Описанная окружность около четырехугольника

Рис. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность Рис. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность

Четырехугольник ABCD называется  вписанным в окружность , если все его вершины лежат на этой окружности. 

 

Четырехугольник на рис. 4 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность  описана около четырехугольника . Как мы доказали ранее, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.


Теорема 

 

Свойство вписанного четырехугольника. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°.

 

Признак вписанного четырехугольника. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.


Доказательство

 

Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 5). По теореме о вписанном угле A=12BCDC=12BAD. Следовательно, 

 

A+C=12BCD+12BAD=12 BCD+BAD=12·360°=180°.

 

Аналогично доказываем, что B+D=180°. Свойство вписанного четырехугольника доказано.

Рис. 5. К доказательству признака вписанного четырехугольника Рис. 5. К доказательству признака вписанного четырехугольника

Докажем признак вписанного четырехугольника.

 

Пусть в четырехугольнике ABCD B+D=180°. Опишем окружность около треугольника ABC и докажем от противного, что вершина D не может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка D лежит внутри окружности, а точка M — точка пересечения луча AD с дугой AC (рис. 5). Тогда четырехугольник ABCM - вписанный. По условию B+D=180°, а по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника B+M=180°, т. е. D=M. Но угол D четырехугольника ABCD — внешний угол треугольника ADM, и по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла M. Итак, мы пришли к противоречию, т. е. точка D не может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка D не может лежать вне окружности (сделайте это самостоятельно). Тогда точка D лежит на окружности, т. е. около четырехугольника ABCD можно описать окружность. 

 

Теорема доказана.


Пример 2

 

Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC опущен перпендикуляр MD на гипотенузу AB. Докажите, что MAD=MCD.


Решение

Рис. 6. К примеру 2 Рис. 6. К примеру 2

Рассмотрим четырехугольник ACMD (рис. 6). Так как ACM=ADM=90°, то ACM+ADM=180°, и около данного четырехугольника можно описать окружность. Тогда MAD=MCD как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, что и требовалось доказать. 


Около любого прямоугольника можно описать окружность.


Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником. Центром окружности является точка пересечения его диагоналей.


Рис. 7 Окружность, описанная около параллелограмма ABCD Рис. 7 Окружность, описанная около параллелограмма ABCD

Рассмотрим параллелограмм ABCD, вписанный в окружность (рис. 7). Противоположные углы параллелограмма равны и в сумме составляют 180° по свойству вписанного четырехугольника, а так как противоположные углы параллелограмма равны между собой по свойству параллелограмма, то все углы параллелограмма раны 90°, ABCD – прямоугольник. 

 

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от вершин прямоугольника. Таким образом, центр окружности, описанной около прямоугольника – точка пересечений его диагоналей (рис. 7).


Если ромб вписан в окружность, то этот ромб является квадратом 

 

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

 

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. 


Рис. 8. Равнобокая трапеция, вписанная в окружность Рис. 8. Равнобокая трапеция, вписанная в окружность

Действительно, если говорить о равнобедренной трапеции, то, во-первых, углы при основаниях равны, во-вторых, сумма углов при боковой стороне равна 180°, следовательно сумма противолежащих углов равна 180° (рис. 8).

 

Если трапеция вписана в окружность, то сумма противолежащих углов равна 180° и сумма углов при боковой стороне равна 180°, следовательно, углы при основаниях равны и трапеция равнобедренная.


Пример 3

 

Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на большем основании, а меньшее основание равно радиусу этой окружности r. Найдите площадь трапеции.


Рис. 9. К примеру 3 Рис. 9. К примеру 3

Рассмотрим трапецию ABCD, которая вписана в окружность с центром в точке O, которая лежит на большем основании AD, и радиусом rBC=r (рис. 9). Найдем площадь этой трапеции.

 

Трапеция ABCD вписана в окружность, следовательно она равнобедренная, AB=CD. Углы AOB и COD равны как центральные углы, опирающиеся на равные хорды. Треугольник BCO равносторонний, BOC=60°. Тогда AOB=COD=180°-60°2=60°, следовательно, треугольники ABO и CDO также равносторонние, AB=CD=r.

Проведем высоту BH. В прямоугольном треугольнике ABH sin A=BHABBH=AB·sin 60°=r32.

Центр окружности лежит на стороне AD, тогда AD – диаметр окружности, AD=2r. 

 

SABCD=AD+BC2·BH=2r+r2·r32=33r24.

 

Ответ: 33r24.


Упражнение 2

 

1. Определите, можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD, если углы ABC и D равны соответственно:

а) 90°, 90°, 20°, 160°;

б) 5°, 120°, 175°, 60°.

2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр которой лежит на стороне AD. Найдите углы четырехугольника, если ACB = 20°DBC = 10°.

3. Найдите углы трапеции, если центр окружности, описанной около нее, лежит на большем основании, а угол между диагоналями равен 70°.


Контрольные вопросы

 

1. Даны треугольник и окружность. Определите, является ли данная окружность описанной около треугольника, если:

а) центр окружности равноудален от всех сторон треугольника;

б) центр окружности равноудален от всех вершин треугольника;

в) все стороны треугольника — хорды окружности;

г) все стороны треугольника касаются окружности.

2. Около треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Могут ли эти окружности иметь равные радиусы; общий центр?

3. Можно ли описать окружность около четырехугольника, у которого только один прямой угол; только два прямых угла?

4. Можно ли описать окружность около прямоугольной трапеции?

5. В трапеции три стороны равны. Можно ли около такой трапеции описать окружность?


Ответы на упражнения

Упражнение 1

 

1. а) Треугольник ABC равнобедренный, AB=BC, поэтому центральные углы, опирающиеся на равные хорды равны, AOB=COB;

б) 80°;

2. 18 см.

 

Упражнение 2

 

1.а) нет; б) да.

2. 70°, 100°, 110° и 80°.

3. 55°, 125°, 125°, 55°.

Осевая и центральная симметрии

Общие геометрические сведения
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История