Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Пересечение и объединение множеств. Числовые промежутки

Решение уравнений и неравенств

Пересечение и объединение множеств. Числовые промежутки

План урока

  • Пересечение множеств
  • Объединение множеств
  • Числовые промежутки

Цели урока

  • Знать определения пересечения и объединения двух множеств
  • Знать, что такое пустое множество
  • Уметь находить пересечение и объединение двух множеств
  • Знать обозначения числовых промежутков, их названия, их изображение на координатной прямой и неравенства, которые задают эти числовые промежутки
  • Уметь изображать на координатной прямой числовые промежутки, заданные неравенствами или обозначением промежутка
  • Уметь находить пересечение и объединение числовых промежутков

Пересечение и объединение множеств

 

Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) определял множество как «объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества в единое целое».

Пусть множество A — множество натуральных делителей 18, B — множество натуральных делителей 24. Зададим множества A и B перечислением элементов: 

 

A=1,2,3,6,9,18

B=1,2,3,4,6,8,12,24

 

Обозначим буквой C  множество общих делителей чисел 18 и 24, т.е. общих элементов множеств A и B. Получим, что 

 

C=1,2,3,6.

 

Тогда говорят, что множество C является пересечением множеств A и B, и обозначают: AB=C.


Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.


Рис. 1. Геометрическая иллюстрация пересечения множеств Рис. 1. Геометрическая иллюстрация пересечения множеств

Геометрически соотношение между множествами AB и C изображается с помощью кругов Эйлера рис 1.

Если множества X и Y не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пустое множество, которое обозначают знаком. И записывают: XY=

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация объединения множеств Рис. 2. Геометрическая иллюстрация объединения множеств

Вернемся к примеру. Пусть множество D — множество делителей чисел 18 и 24. 

Тогда получим

 

D = 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24.

 

Про множество D говорят, что оно является объединением множеств A и B, и обозначают: AB=D.

 

На рисунке 2 с помощью кругов Эйлера изображено объединение множеств A и (закрашенная фигура). 


Упражнение 1

1. Пусть A — множество однозначных простых чисел, Y — множество однозначных чисел. Задайте путем перечисления элементов их пересечение и объединение.

 

2. Пусть A — множество делителей числа 45, Y — множество делителей числа 14. Задайте путем перечисления элементов их пересечение и объединение.


Числовые промежутки

Пусть a и b — некоторые числа, причем a<b. Пусть x — число больше a и меньше b, т.е.  a<x<b. Тогда число x на координатной прямой изображается точкой между точками с координатами a и b (рис. 3). Верно и обратное: точке между точками с координатами a и b, соответствует число, для которого верно a<x<b

 

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию a<x<b, называют интервалом и обозначают так: (a; b) (читают: интервал от a до b). На рисунке 4 это множество показано штриховкой, а светлые кружки с координатами a и b показывают, что числа a и b не принадлежат интервалу (a; b).


Множество всех чисел, удовлетворяющих условию axb, называют отрезком и обозначают так: [a; b] (читают: отрезок от a до b). На рисунке 5 это множество показано штриховкой, а закрашенные кружки с координатами a и b показывают, что числа a и b принадлежат отрезку [a; b].


Множества чисел x, для которых выполняются двойные неравенства a<xb и ax<b, называют   полуинтервалами и обозначают соответственно (a; b] и [ab) (читают: полуинтервал от a до b, включая b; полуинтервал от a до b, включая a). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 6 и 7.


Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками .


Существуют и другие числовые промежутки. Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.

Таблица 1. Числовые промежутки Таблица 1. Числовые промежутки

Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают (-;+).

 

Выясним, какое множество является пересечением и какое объединением некоторых числовых промежутков.


Пример 1

Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:

а)  [-1;4] и [1;5]  (рис. 8); б)  (-2;+) и ( 1;+) (рис. 9).    


В некоторых случаях числовые промежутки не имеют общих элементов, поэтому их пересечение является пустым множеством. 

Например, [-1;1][4;5]=(рис. 10). Объединение числовых промежутков не всегда является числовым промежутком. Например, [-1;1][4;5] (рис. 10). 



Упражнение 2

Найдите пересечение и объединение числовых промежутков:

а)  (-2;10) и (0;15); б)  (-;2) и (-2;+); в)  (-3;3) и (-6;6)

г) (-;5) и (-;10)


Контрольные вопросы

1. Что называется пересечением двух множеств? Объединением двух множеств?

2. Назовите числовые промежутки различного вида.

3. В каком случае пересечение промежутков является пустым множеством?


Ответы

Упражнение 1

 

1. AY=2,3,5,7, AY=1,2,3,4,5,6,7,8,9

 

2. AY=1, AY=1,2,3,5,7,9,14,15,45

 

Упражнение 2

 

а) (0;10), (-2;15); б) (-2;2), (-;+); в) (-3;3), (-6;6);

 г) (-;5), (-;10).


 

Неполные квадратные уравнения

Решение уравнений и неравенств
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История