Конспект урока: Вписанная и описанная окружности треугольника

Рис. 1. Окружность вписанная в неразвёрнутый угол

Если отрезок (луч) принадлежит прямой, которая является касательной к окружности, и при этом точка касания является точкой отрезка (луча), то считают, что данный отрезок (луч) является касательным к окружности.

Рассмотрим неразвёрнутый угол $ABC$ и впишем в него окружность с центром $O$ таким образом, чтобы она касалась сторон этого угла (рис. 1). Такую окружность называют вписанной в неразвёрнутый угол. При этом центр окружности равноудалён от сторон угла, следовательно, лежит на биссектрисе угла $ABC$.

Рис. 2. Окружность вписанная в треугольник ABC

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон, а треугольник называется описанным около этой окружности. 

На рисунке 2 треугольник $ABC$ описан около окружности с центром $O$, а треугольник $ADC$ не является описанным около этой окружности, так как сторона $AD$ не касается окружности. 

Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Рис. 3. Окружность вписанная в треугольник ABC

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть его биссектрисы пересекаются в точке $O$ (рис. 3). Тогда по теореме о биссектрисе угла точка $O$ равноудалена от сторон треугольника. Таким образом, три перпендикуляра, проведенные из точки $O$ к сторонам данного треугольника, равны, т. е. $OD=OE=OF$. Следовательно, существует окружность с центром $O$, которая касается всех сторон треугольника $ABC$ в точках $D$, $E$, $F$, так как они перпендикулярны к радиусам $OD$, $OE$, $OF$. 

Докажем методом от противного, что эта окружность единственная.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность, отличную от построенной. Тогда её центр одинаково удален от сторон треугольника и совпадает с $O$ – точкой пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до сторон треугольника. Таким образом, эта окружность совпадает с построенной.

Теорема доказана.

Рис. 4. Пример 1

Пусть стороны $AB$, $BC$ и $AC$ касаются окружности в точках $E$, $F$ и $G$ соответственно, отрезок $MK$ касается окружности в точке $D$. Тогда, по свойству отрезков касательной ($BE=BF$, $AE=AG$, $CF=CG$)

$AE+CF=AG+GC=AC=10$ м,

$MK=MD+DK=ME+KF$.

Периметр треугольника $MBK$:

$P_{MBK}=BM+BK+MK=$

$=BM+BK+ME+KF=BE+BF=$

                $=AB+BC-AC=5+7-10=2$ (см).

Ответ: $2$ см.

Рис. 5. Окружность, описанная около треугольника ABC

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на данной окружности. 

В этом случае говорят, что треугольник является вписанным в данную окружность. На рисунке 4 окружность с центром $O$ описана около треугольника $ABC$. Поскольку все вершины треугольника лежат на описанной окружности, то все они равноудалены от центра окружности. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы об описанной окружности.

Рис. 6. К доказательству теоремы об окружности, описанной около треугольника

Пусть прямые $a$ и $b$ – серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$ данного треугольника $ABC$ (рис. 5). 

Мы уже доказывали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая равноудалена от вершин треугольника. Таким образом, $a$ и $b$ пересекаются в точке $O$ и $OA=OB=OC$. Следовательно, существует окружность с центром $O$, проходящая через все вершины треугольника $ABC$.

Докажем методом от противного, что такая окружность единственна. 

Допустим, что около треугольника можно описать ещё одну окружность, отличную от построенной. Тогда центр этой окружности равноудалён от вершин треугольника и потому совпадает с $O$ – точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки $O$ до вершин треугольника. Значит, эта окружность совпадает с построенной. 

Теорема доказана.