Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

Числа

Умножение рациональных чисел. Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел. Коэффициент

План урока

  • Умножение рациональных чисел
  • Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел
  • Коэффициент

Цели урока

  • Знать правила умножения рациональных чисел, свойства умножения рациональных чисел, понятие «коэффициент»
  • Уметь умножать рациональные числа, использовать свойства умножения для упрощения вычислений, находить коэффициент в буквенном выражении

Разминка

  • Как сложить два отрицательных числа?
  • Как найти сумму чисел с разными знаками?
  • Сформулируйте правило вычитания рациональных чисел

 

Умножение рациональных чисел

 

Умножение натуральных чисел можно представить в виде сложения:

 

4·3=4+4+4=12

 

Представим произведение  в виде суммы слагаемых:

 

-4·3=-4+(-4)+(-4)=-12

 

Для положительных чисел выполняется переместительное свойство умножения, оно же верно и для любых рациональных чисел:

 

-4·3=3·(-4)=-12.

 

Так как 12 и -12 — противоположные числа, то произведение чисел 4·3 будет противоположным произведению -4·3, оно же будет противоположным и для 3·(-4).

 

-4·3=-(4·3)=-12

3·(-4)=-(3·4)

 

Значит в каждом случае мы получим отрицательное значение произведения.

 

Обратим внимание на запись 3·(-4). Так как нельзя подряд записать два знака действий, число 4 заключают в скобки.


Правило умножения чисел с разными знаками

 

Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо умножить их модули и перед полученным произведением поставить знак «–».


Видим, что произведения 4·3-4·3 и 4·(-3) отличаются только знаками. Значит изменение знака у одного множителя меняет знак у всего произведения.

 

А что будет, если поменять знаки у обоих множителей? Тогда знак произведения изменяется дважды, т.е., по сути, остается тем же. Получается, что, умножая отрицательные числа, фактически мы перемножаем их модули, не обращая внимания на знаки:

 

-3·(-4)=|-3|·|-4|=3·4=12.


Правило умножения отрицательных чисел

 

Чтобы умножить два отрицательных числа, нужно умножить их модули.


-1,3·(-5)=|-1,3|·|-5|=1,3·5=6,5.

 

-23·(-45)=|-23|·|-45|=23·45=815.

 

Вы знаете, что при умножении числа на 1 оно не меняется. А если мы умножим на -1, то по правилу мы должны поменять знак, т.е. получить противоположное число. 


b·1=1·b=b

b·(-1)=(-1)·b=-b

b·0=0·b=0


Правила, которые мы сегодня разобрали имеют ряд выводов:


1. Если два числа имеют одинаковые знаки, то их  произведение положительно. И наоборот, если произведение двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки.

 

2. Если два числа имеют разные знаки, то их произведение отрицательно. И наоборот, если произведение двух чисел отрицательно, значит они имеют разные знаки.

 

3. Если хотя бы одно из двух чисел равно нулю, то их произведение будет равно нулю. И наоборот, если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю.

Это правило распространяется на любое количество множителей.


Пример 1 

Решите уравнение (4+x)(x-3,4)=0


Решение

 

Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

 

4+x=0 или x-3,4=0

x=-4 или x=3,4

 

Ответ-43,4.


Пример 2

Докажите, что значение выражения x2 неотрицательно.


Решение

 

1. Если x — положительное число, то x2=x·x — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).

2. Если x — отрицательное число, то x2=x·x — положительное число (как произведение чисел с одинаковыми знаками).

3. Если x=0, то произведение по свойству равно нулю.

 

Видим, что отрицательных значений произведение не принимает. Таким образом, значение выражения x2 всегда неотрицательно.


При любых значениях x выражение x2 принимает только неотрицательные значения.

 

x20


Переместительное и сочетательное свойства умножения рациональных чисел

 

Мы уже говорили выше, что для рациональных чисел справедливо переместительное свойство умножения.

 

Это касается также и сочетательного свойства.


Для любых рациональных чисел a и b выполняются равенства:

 

ab=ba переместительное свойство умножения;

(ab)c=a(bc) сочетательное свойство умножения.


Используя эти свойства, в произведении нескольких рациональных чисел мы можем переставлять множители местами, расставлять скобки, тем самым определяя наиболее удобный порядок выполнений действий.

 

(-25·7)·(-4)=(-25·(-4))·7=700

 

Коэффициент

 

Рассмотрим выражение 0,2x·7,1y·(-5). Упростим выражение, используя свойства умножения:

 

0,2x·7,1y·(-5)=0,2·x·7,1·y·(-5)=(0,2·7,1·(-5))·x·y=-7,1xy.

 

В полученном выражении 7,1 — числовой множитель, который по-другому еще называют коэффициентом .

 

Заметим, что в выражении 0,2x·7,1y·(-5) ни один из числовых множителей 0,27,1 или 5 не является коэффициентом.

 

Чтобы найти коэффициент в буквенном выражении, нужно найти произведение всех его числовых множителей.

 

Коэффициент 1 и -1 обычно не записывают перед числом.

 

У выражения a коэффициент равен 1, а у выражения -a коэффициент равен -1.


Упражнения

1.  1) 36·(-4);        2) -7,8·(-7);        3) -449·(-118);        4) -556·157.

 

2. Выполните действия:

 

1) -13,4·0,6+(-2,3)·3,8;          2) (2,8-5)·(-9,38+9,36).

 

3. Решить уравнение: (x+9)(x-8)=0.

 

4. Упростите выражение и назовите его коэффициент:

 

1) -3,2·6x;        2) -0,8y·(-0,7);        3) 5a·(-1,4b)·0,6c


Контрольные вопросы

 

1. Как умножить числа с разными знаками?

2. Как умножить два отрицательных числа?

3. Какие знаки должны иметь множители, чтобы произведение двух чисел было отрицательным? Положительным?

4. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства умножения.

5. Что такое коэффициент?


Ответы

1. 1) – 144;    2) 54,6;    3) 5;    4) – 10.

2. 1) – 16,78;    2) 0,044.

3.  – 9; 8.

4. 1) – 19,2x;    2) 0,56y;    3) – 4,2abc.


Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга

Окружность
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История