Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Деление числа в данном отношении

Отношения и пропорции

Прямая и обратная пропорциональные зависимости. 

Деление числа в данном отношении

План урока

  • Прямая пропорциональная зависимость
  • Обратная пропорциональная зависимость
  • Деление числа в данном отношении

Цели урока

  • Знать понятия прямой и обратной пропорциональных зависимостей, их свойства.
  • Уметь решать задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости.
  • Уметь делить число в данном отношении.

Разминка

  • Что такое отношение?
  • Что такое пропорция?
  • Как найти средний член пропорции?
  • Как найти крайний член пропорции?

 

Прямая пропорциональная зависимость 

 

За 2 кг овощей заплатили 90 рублей. Сколько будет стоит 6 кг таких же овощей? Очевидно, что 1 кг стоит 45 рублей, тогда 6 кг — 270 рублей. Заметим, что овощей купили в 3 раза больше (6 : 2 = 3), и стоимость покупки стала, также, в 3 раза больше (270 : 90 = 3). Проведя такие же вычисления, например, узнав стоимость 10 кг этих же овощей, можно сделать вывод: во сколько раз увеличивается количество купленного товара, во столько же раз увеличивается и стоимость всей покупки. В данной задаче количество и стоимость являются переменными величинами , а сама зависимость между ними называется  прямой пропорциональной зависимостью .


Две переменные величины называют  прямо пропорциональными , если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.


Примерами прямо пропорциональных величин являются количество и стоимость; цена и стоимость; скорость и расстояние; время и расстояние; объем и масса и др.

 

Рассмотрим пример. Стальной шарик имеет массу 35 г. Какую массу имеют 2 таких шарика? 3шарика? 4 шарика?

 

Количество шариков

1

2

3

4

Масса шариков, г

35

70

105

140

 

Найдем отношение количества шариков к их общей массе, если возможно, сократим получившиеся дроби:

 

135; 270=135; 3105=135; 4140=135.

 

 

Свойство прямо пропорциональных переменных величин


Если две переменные величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.


Обратная пропорциональная зависимость

 

Ваня ехал из Твери в Москву. Расстояние между городами 170 км. Если он поедет на мотоцикле со скоростью 42,5 км/ч, то он приедет в Москву через 4 часа. А если он поедет на автомобиле со скоростью 85 км/ч, то время в пути составит 2 часа. Обратим внимание, что при увеличении скорости в 2 раза, время в пути уменьшается в 2 раза: чем больше скорость, тем меньше время. Такая зависимость называется  обратно пропорциональной зависимостью .


Две переменные величины называют  обратно пропорциональными , если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.


Грузчикам необходимо перевезти 24 т строительных материалов. Если они будут перевозить его на машине с грузоподъемностью 6 т, то нужно будет сделать 4 рейса. Если грузоподъемность 8 т, то потребуется 3 рейса. Грузоподъемность увеличилась в  86=43 раз. Количество рейсов же уменьшилось в 43 раза: 4:3=43. Видим, что грузоподъемность и количество рейсов — обратно пропорциональные величины.

 

Сколько рейсов нужно совершить, чтобы перевести 24 т строительных материалов, если использовать машину грузоподъемностью 2 т, 3 т, 4 т, 12 т, 24 т?

 

Грузоподъемность машины, т

2

3

4

12

24

Количество рейсов

12

8

6

2

1

Масса груза, т

24

24

24

24

24

 

Во всех случаях произведение грузоподъемности и количества рейсов имеет одинаковое числовое значение, что иллюстрирует свойство обратно пропорциональных переменных величин:

 

 

Свойство обратно пропорциональных переменных величин


Если две переменные величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.


Пример 1

 

Заполните таблицу, если величина прямо пропорциональна величине a.

 

a

1,5

4,1

b

6

4,2


Решение

 

Найдем отношение известной нам пары соответствующих значений величин a и b61,5=4.

 

Чтобы найти значение b во втором столбце, умножим 4,1 на 4: 4,1·4=16,4, чтобы найти а в третьем столбце, разделим 4,2 на 4: 4,2:4=1,05.

 

Ответ: 

 

a

1,5

4,1

1,05

b

6

16,4

4,2

 


Пример 2

 

Два трактора вспахали поле за 6 дней. За сколько дней вспашут это поле 4 трактора, если будут работать с той же производительностью?


Решение

 

Во сколько раз увеличилось количество тракторов, во столько же раз уменьшится время их работы при условии, что производительность останется той же. Количество тракторов увеличилось в 2 раза. Значит время работы уменьшится в 2 раза:

 

6 : 2 = 3 дня.

            

Ответ: 3 дня.


Деление числа в данном отношении

 

В компотной смеси масса яблок относится к массе слив как 3 : 1. Сколько граммов слив и яблок в компотной смеси весом 2400 г?


Запись 3 : 1 обозначает, что на 3 части яблок приходится 1 часть слив. Будем считать, что компотная смесь состоит из  частей, имеющих одинаковые массы. Масса одной части 2400:4=600 г. Так как яблок в смеси 3 части, а слив — 1 часть, то 3·600=1800 г — масса яблок, 1·600=600 г — масса слив.

 

Ответ: 600 г, 1800 г.

 

Эту задачу можно решить другим способом.
Пусть x г — масса одной части.
Тогда 3x г — масса яблок,

x г — масса слив. 


Составим и решим уравнение:

 

1) 3x+x=2400

4x=2400 |:4

х=600.
Масса 1 части — 600 г.

 

2) 3·60=1800 (г) — яблок.

 

3) 1·600=600 (г) — слив.


Ответ: 600 г, 1800 г.


Из решения задачи следует, что число 2400 можно представить в виде суммы чисел 1800 и 600, отношение которых равно 3 к 1. В таком случае говорят, что число 2400 разделили в отношении 3 : 1. Также можно сказать, что число 2400 представили в виду суммы двух слагаемых, пропорциональных числам  3 и 1.


Пример 3

 

Три маляра одной квалификации работали с одинаковой производительностью труда и получили за выполненную работу 16 000 рублей. Сколько рублей должен получить каждый маляр, если первый из них работал 8 часов, второй — 24 часа, третий — 32 часа?


Решение

 

Так как квалификация и производительность труда маляров не отличаются друг от друга, то час работы каждого маляра стоит одинаково. Пусть x рублей — стоимость часа работы. Тогда 8x рублей — получит первый маляр, 24x рублей — второй маляр, 32x рублей — третий маляр. По условию в сумме они получили 16 000 рублей. Составим и решим уравнение:

 

8x+24x+32x=16000;

64x=16000;

x=250.

 

250 рублей — стоимость часа работы.

 

2) 8 · 250 = 2000 (руб.) — получил первый маляр.

3) 24 · 250 = 6000 (руб.) — получил второй маляр.

4) 32 · 250 = 8000 (руб.) — получил третий маляр.

            

Ответ: 2000 рублей; 6000 рублей: 8000 рублей.


Решая данную задачу, мы разделили число 16 000 на три слагаемых, пропорциональных числам 8, 24 и 32. Также говорят, что число 16 000 поделили в отношении 8 : 24 : 32. Отношение «8 : 24 : 32» читают как «восемь к двадцати четырем и к тридцати двум».


Упражнения

 

1. За некоторое время рабочий изготовил 25 деталей. Сколько деталей он изготовит за это же время, если его производительность труда увеличится в 1,2 раза?

2. Бригада рабочих выполняет некоторое производственное задание за 5,6 ч. За какое время выполнит бригада это задание, если производительность труда возрастёт в 1,4 раза?

3. Разделите число 64 в отношении 3 : 5

4. Периметр треугольника равен 144 см, а длины его сторон относятся как 9 : 11 : 16. Найдите стороны треугольника.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое прямо пропорциональные величины?

2. Какая зависимость называется обратно пропорциональной?

3. Приведите по 3 примера прямо и обратно пропорциональных величин.

4. На какое количество частей нужно разделить число, чтобы найти значение 1 части, если задано отношение 2 : 3?


Ответы

1.  30 деталей.

2. 4 часа

3. 24 и 40.

4. 36 см, 44 см, 64 см


Пропорции

Отношения и пропорции
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История