- Делители и кратные
- Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
- Признаки делимости на 9 и на 3
- Знать понятия «делитель», «кратное», признаки делимости чисел
- Уметь находить делители и кратные числа, определять делимость числа на 2, 3, 5, 9 и 10
- Как называются компоненты умножения?
- Как называются компоненты деления?
- Назовите число, на которое разделится любое натуральное число без остатка.
Делители и кратные
Самый первый знак деления, скорее всего, знак «/». Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде Clavis Mathematicae (1631, Лондон). Немецкий математик Лейбниц предпочитал двоеточие «:». Этот символ он использовал впервые в 1684 году в своём труде Acta eruditorum. Немецкий математик Йоханн Ран ввёл для обозначения деления знак «÷». Вместе со знаком умножения в виде звёздочки «∗» он появился в его книге Teutsche Algebra в 1659 году. Из-за распространения в Англии знак Рана часто называют английским знаком деления, но корни его лежат в Германии.
С делением связывают компоненты: делимое, делитель и частное. Сегодня мы познакомимся с ещё одним понятием — кратное.
Понятия кратного и делителя
Натуральное число делится нацело на натуральное число если найдётся натуральное число такое, что справедливо равенство
Если одно натуральное число делится нацело на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.
Для любого натурального числа каждое из чисел … является кратным числа a.
Заметим, что число 15 делится без остатка на 5. В этом случае говорят, что 15 делится нацело на 5, 15 кратно 5. Число 5 называют делителем числа 15, а число 15 — кратным числа 5. Символ «⋮» обозначает понятие кратности. Пишут 15 ⋮ 5.
Пример 1
Выпишите делители числа 24 и пять чисел, кратных числу 24.
Решение
1) Чтобы найти делители числа 24, необходимо выбрать натуральные числа от 1 до 24, на которые число 24 делится без остатка.
Делители
2) Чтобы найти кратные числа 24, нужно выписать числа, которые делятся на 24. Для этого умножим число 24 на 1, 2, 3, 4 и 5.
Кратные
Ответ: Делители
Кратные
Заметим, что любое натуральное число делится на 1 и само на себя, то есть имеет как минимум 2 делителя (кроме числа 1, у него 1 делитель): 1 — наименьший делитель числа, само число — наибольший делитель.
Среди чисел, кратных наибольшего нет, а наименьшее — само число
Количество делителей числа конечно, а количество кратных — бесконечно, как и сам ряд натуральных чисел.
Например, делителями числа 10 будут числа: 1, 2, 5, 10. Их конечное число. А вот чисел, кратных 10, будет бесконечно много – 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, … .
Если рассмотреть кратность суммы чисел и на число то можно выделить 3 варианта:
1) Если одно из слагаемых кратно то сумма не будет кратна
4 делится на 2, 5 не делится на 2, значит, не делится на 2.
2) Если оба слагаемых не кратны то сумма может быть кратным а может не быть кратным
4 не делится на 3, 5 не делится на 3, но и 9 делится на 3.
4 не делится на 3, 7 не делится на 3, и 11 не делится на 3.
3) Если оба слагаемых кратны то и сумма этих чисел будет кратна
4 делится на 2, 6 делится на 2, значит, и сумма делится на 2.
Свойство делимости произведения
Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Пример 2
Проверьте, делится ли число 3 800 на 25, не выполняя деления.
Решение
Представим число 3 800 в виде произведения двух множителей, один из которых делится на 25.
Значит, число 3 800 делится на 25.
Свойство делимости суммы и разности
Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то и их сумма и разность делится на это число.
Пример 3
Проверьте, делится ли сумма чисел 26, 52 и 78 на 13, не выполняя деления.
Решение
Представим каждое из слагаемых в виде произведения двух множителей, один из которых равен 13.
Значит, сумма чисел 26, 52 и 78 делится на 13.
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.
Если запись натурального числа не оканчивается цифрой 0, то это число не делится нацело на 10.
Эти два утверждения называют признаком делимости на 10.
Число 145 не делится на 10, так как не оканчивается цифрой 0.
Заметим, что если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному последней цифрой делимого.
Числа, которые делятся нацело на 2, называют чётными . А те, которые не делятся нацело на 2, — нечётными .
Например, число 36 — чётное, т. к. оно делится на 2.
Число 37 — нечётное, т. к. оно не делится нацело на 2.
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными , а 1, 3, 5, 7 и 9 — нечётными .
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится нацело на 2.
Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
Число 37 не делится на 2, так как оканчивается нечётной цифрой 7.
Заметим, что все нечётные числа при делении на 2 дают в остатке 1.
Рассмотрим произведения числа 5 на нечётные числа:
Во всех случаях произведение оканчивается на цифру 5.
Если найти произведение 5 на чётные числа:
то можно заметить, что все произведения оканчиваются на цифру 0.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или 0, то это число делится нацело на 5.
Если запись натурального числа не оканчивается цифрой 5 или 0, то это число не делится нацело на 5.
Признаки делимости на 9 и на 3
Признаки делимости на 9
Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то само число делится нацело на 9.
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.
Проверим, делится ли число 1944 на 9.
18 делится на 9, значит, и 1944 делится на 9.
Признаки делимости на 3
Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то само число делится нацело на 3.
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.
Проверим, делится ли число 147 на 3.
12 делится на 3, значит, и 147 делится на 3.
Упражнения
1. Как называется натуральное число которое делится без остатка на число ?
2. Выпишите:
а) из чисел 0, 1, 3, 5, 10, 15 делители числа 15;
б) из чисел 0, 1, 2, 4, 7, 14 числа, кратные числу 2.
3. Запишите:
а) все делители числа 18;
б) первые пять чисел, кратных числу 3.
4. Сколько делителей и сколько кратных имеет число 11?
5. Докажите, что число 4578 кратно числу 327, а число 583 является делителем числа 13 992.
Контрольные вопросы
1. Что такое кратное?
2. Что обозначает выражение «16 кратно 4»?
3. Сколько делителей имеет число 1?
4. Сформулируйте признак делимости на 2.
5. Какие числа называются нечётными?
6. Сформулируйте признак делимости на 5 и на 10.
7. Все ли числа, кратные 10, будут кратны и 5?
8. Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9.
9. Все ли числа, кратные 3, будут кратны и 9?
1. Кратное числу
2. а) 1, 3, 5, 15; б) 2, 4, 14.
3. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15.
4. 2 делителя, бесконечное количество кратных.
5. значит, 4578 кратно 327.
значит, 583 — делитель числа 13 992.
