Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Обыкновенные дроби

  • Числа

  • Десятичные дроби

  • Степень

  • Алгебраические выражения

  • Призма

  • Площади

  • Общие геометрические сведения

  • Объем

  • Статистика

  • Решение уравнений и неравенств

  • Элементы комбинаторики и теории вероятности

  • Треугольники

Конспект урока: Комбинаторные задачи

Элементы комбинаторики и теории вероятности

Комбинаторные задачи

 

План урока

  • Метод перебора вариантов
  • Метод «дерево возможных вариантов»
  • Графы

Цели урока

  • Знать способы решения комбинаторных задач.
  • Уметь решать комбинаторные задачи несколькими способами.

Разминка

  • Сколько цифр может быть на первом месте в записи четырехзначного числа?
  • На отрезке АВ отмечена точка С. Сколько отрезков получилось на чертеже?

 

Метод перебора вариантов

 

Представьте, что за вами должно приехать такси. По телефону оператор называет номер машины 24… А последнюю цифру в номере вы не услышали. Сколько существует номеров автомобиля с первыми цифрами 2, 4 (буквы не учитываем)? 

 

Последней цифрой может быть любая от 0 до 9. Получается, что таких номеров 10. Такие варианты номеров называются комбинациями, а сами задачи комбинаторными.


Пример 1

Коля, Вася и Петя участвовали в эстафете. Сколько вариантов распределения мест среди этих трех учеников может быть?


Решение способом 1

 

Рассмотрим первый случай. Первое место занимает Коля, тогда либо Вася второе и Петя третье, либо Петя второе, а Вася третье. 

 

Если первое место занимает Вася, тогда либо Петя второе и Коля третье, либо Коля второе, а Петя третье.

 

Если первое место занимает Петя, тогда либо Вася второе и Коля третье, либо Вася третье, тогда Коля занимает второе место. 

 

Удобнее посмотреть все варианты в таблице:

Рис. 1. Пример 1. Способ 1 Рис. 1. Пример 1. Способ 1

Ответ: 6 вариантов.


Метод «дерево возможных вариантов»

 

Способ 2

 

Задачу можно решить еще более наглядным способом с помощью схемы, где верхний ряд первое место, второй ряд второе место, третий ряд третье место. 


Решение

Рис. 2. Пример 1. Способ 2 Рис. 2. Пример 1. Способ 2

Такая схема называется деревом возможных вариантов.

 

Подсчитываем количество вариантов по третьему ряду.

 

Ответ: 6 вариантов.


Способ 3

 

На первом месте может оказаться один из трех ребят. Значит на втором двое, так как третий занял первое место. Значит на каждый из трех вариантов 1 места приходится по 2 варианта второго места (3 · 2). На третьем месте один вариант, так как первое и второе места заняты. То есть на каждый вариант 2 места приходится только 1 вариант 3 места. 

Получаем  3 · 2 · 1 = 6.

 

Ответ: 6 вариантов.


Пример 2

Сколько углов на рис. 3?

Рис. 3. Пример 2. Углы с общей вершиной Рис. 3. Пример 2. Углы с общей вершиной


Решение

 

Угол обозначим 3 буквами, одной из которых будет О, как вершина угла. Учтем, что углы BOC и COB один и тот же угол. 

Начнем с буквы B. Выпишем углы, которые начинаются с этой буквы: BOC, BOD, BOE.

Берем букву С, но помним, что букву В повторно использовать уже не можем: COD, COE.

Осталась буква D, буквы C и В не используем: DOC.

C точки Е назвать угол не сможем, так как этот угол будет повторным. 

Итого получили 6 углов.

 

Ответ: 6 углов.


 

Графы

 


Пример 3

При встрече четыре приятеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?


Рис. 4. Пример 3 Рис. 4. Пример 3

Решение

 

Построим 4 точки, которые соответствуют четырем приятелям. Каждое рукопожатие отметим отрезком. Осталось сосчитать количество отрезков. Заметим, что если 1 пожал руку 2, то и 2 пожал руку 1 засчитываем как одно рукопожатие. Получаем 6 отрезков. Такой графический метод решения задачи называется методом графов.

Ответ: 6


Упражнения

1. Укажите все трёхзначные числа, для записи которых используются только цифры (цифры не могут повторяться) 1, 2 и 3.

2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2 (цифры могут повторяться)?

3. Сколько существует различных прямоугольников, площади которых равны 12 см2, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?


Контрольные вопросы

1. Что такое «комбинаторные задачи»?

2. Что такое дерево возможных вариантов?

3. Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете?


Ответы

1. 123, 132, 213, 231, 312, 321.

2. 6.

3. 3.


Многоугольники. Равные фигуры. Треугольник и его виды

Треугольники
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История