Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Объем

  • Комбинации тел

  • Сфера и шар

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

  • Цилиндр

  • Треугольники

  • Окружность

  • Конус

Конспект урока: Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число

Другие разделы

Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

План урока

  • Сложение и вычитание векторов;
  • Сумма нескольких векторов;
  • Умножение вектора на число.

Цели урока

  • Знать правила сложения (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника), вычитания, умножения вектора на число;
  • Уметь выполнять сложение и вычитание векторов;
  • Уметь выполнять умножение вектора на число;
  • Знать свойства сложения векторов;
  • Знать свойства умножения вектора на число.

Разминка

  • Какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, противоположно направленными?
  • Что такое модуль вектора?
  • Какие векторы называются равными?

Сложение и вычитание векторов

Рис. 1. Правило треугольника Рис. 1. Правило треугольника

Рассмотрим, что понимают под сложением произвольных векторов a и b

Отложим от какой-нибудь точки A вектор AB, равный вектору a (рис. 1). От точки B отложим вектор BC, равный b

Вектор AC является суммой векторов a и bAC=a+b.

Рис. 2. Сложение коллинеарных векторов Рис. 2. Сложение коллинеарных векторов

Такой способ нахождения суммы векторов называется правилом треугольника.

На рисунке 2 показано применение этого правила при сложении сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Правило треугольника может быть сформулировано следующим образом:

Для любых трёх точек AB и C имеет место равенство 

 

AB+BC=AC.

 

Рис. 3. Правило параллелограмма Рис. 3. Правило параллелограмма

Для сложения двух неколлинеарных векторов также используют правило параллелограмма, применение которого показано на рисунке 3.


Свойства сложения векторов

 

Для любых векторов ab и c справедливы равенства:

  1. a+b=b+a (переместительный закон)
  2. a+b+c=a+b+c  (сочетательный закон)


Эти свойства сложения векторов были доказаны в курсе планиметрии.

Рассмотрим, что понимают под разностью двух векторов. Для этого введём понятие противоположного вектора.


Определение 1

 

Два ненулевых вектора называются противоположными , если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным к нулевому вектору, считается нулевой вектор.


Рис. 4. Разность векторов, используя определение противоположного вектора Рис. 4. Разность векторов, используя определение противоположного вектора

Из определения следует, что вектор BA является противоположным вектору AB.

Вектор, противоположный вектору a, обозначается -a.

Под разностью векторов a и b понимают сумму векторов a и -b. Это можно выразить формулой a-b=a+-b.

Рис. 5. Разность векторов Рис. 5. Разность векторов

На рисунке 4 показано вычитание двух векторов в соответствии с описанной формулировкой.

На рисунке 5 показан другой способ вычитания векторов.


Рис. 6. Рис. 6.

Упражнение 1

 

Постройте вектора a+ba-bb+c (рис. 6)                                


Сумма нескольких векторов

 

При сложении нескольких векторов первый вектор складывается со вторым, затем их сумма – с третьим вектором и т.д.

Рис. 7. Сложение нескольких векторов Рис. 7. Сложение нескольких векторов

При сложении нескольких векторов первый вектор складывается со вторым, затем их сумма – с третьим вектором и т.д.

Из переместительного и сочетательного законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

 

На рисунке 7 проиллюстрировано построение суммы трёх векторов (OC=a+b+c). Таким же образом можно построить сумму любого числа векторов.

Правило, по которому выполняется это построение, называется правилом многоугольника

Правило многоугольника можно сформулировать так:


Правило многоугольника

 

Если A1, A2, , An – произвольные точки, то

 

A1A2+A2A3++An-1An=A1An .


Результатом сложения нескольких векторов может быть и нулевой вектор. Такой результат будет в случае, если при использовании правила многоугольника начало первого и конец последнего вектора совпадают.


Упражнение 2

 

Упростите выражение: AB+MN+BC+NP+CM.


Умножение вектора на число


Определение 2

 

Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна k·a, причём векторы a и b сонаправлены при k>0 и противоположно направлены при k<0.

 

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.


Из данного определения следует, что для любого вектора a и числа k векторы a и ka коллинеарны. Также из определения следует, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Сформулируем основные свойства умножения вектора на число.


Свойства умножения вектора на число

 

Для любых векторов ab и любых чисел kl справедливы равенства:

1. (kl) a=kla  (сочетательный закон);

2. ka+b=ka+kb (первый распределительный закон);

3. (k+l) a=ka+la (второй распределительный закон).


Можно доказать, что если векторы a и b коллинеарны и a0, то существует число k такое, что b=ka.

 

Перечисленные свойства были сформулированы в курсе планиметрии и остаются справедливыми в пространстве.


Рис. 8. К упр. 3 Рис. 8. К упр. 3

Упражнение 3

 

1. DABC – треугольная пирамида (рис. 8). Точки K и M – середины рёбер AB и BC соответственно. Назовите вектор с началом и концом в вершинах DABC или данных точках, равный:

а) 2BK;      б) AD+DB;

в) AC-AK;      г) 12 BC+MD+DA.

 

2. Дан квадрат ABCD и произвольная точка O. Докажите, что 12 AO+OB=-12CD.


Контрольные вопросы

 

  1. Сформулируйте правила треугольника и многоугольника сложения векторов.
  2. Какие векторы называются противоположными?
  3. Как выполнить вычитание  a-b?
  4. Сформулируйте сложения векторов.
  5. Что называют произведением вектора на число?
  6. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
  7. Что является результатом умножения ненулевого вектора на число нуль?
  8. Что является результатом умножения числа, отличного от нуля на нулевой вектор?


Ответы

Упражнение 1

 

 

Упражнение 2

 

 AB+MN+BC+NP+CM=AB+BC+CM+MN+NP=AP

 

Упражнение 3

 

1.а) 2·BK=BA;

б) AD+DB=AB;

в) AC-AK=KA+AC=KC;

г)  12 BC+MD+DA=BM+MD+DA=BA.

 

2. 12·AO+OB=12·AB

Длина этого вектора равна половине стороны квадрата ABCD.

Длина вектора -12·CD также равна половине стороны квадрата ABCD.

Значит, длины векторов 12·AB и -12·CD равны.

Кроме этого векторы  12·AB и -12·CD сонаправлены вектору AB.

Таким образом, 12·AB=-12·CD и 12·AB-12·CD. Следовательно, 12·AB=-12·CD , т.е. 12·AO+OB=-12CD.

Конус

Конус
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История