Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Усечённая пирамида

Пирамида

Усечённая пирамида

План урока

  • Усечённая пирамида

Цели урока

  • Знать, какая фигура называется усечённой пирамидой;
  • Знать, какая усечённая пирамида называется правильной;
  • Знать и уметь доказывать теорему о площади боковой поверхности усечённой пирамиды.

Разминка

  • Что такое пирамида?
  • Какую пирамидой называют правильной?
  • Какую фигуру на плоскости называют трапецией?
  • Что называют расстоянием между плоскостями?

Усечённая пирамида


Определение 1

 

Усечённая пирамида — часть пирамиды, заключенная между её основанием, боковыми гранями и сечением этой пирамиды плоскостью, параллельной основанию.


На рисунке 1 изображена пирамида SA1A2A3An, основание которой лежит в плоскости α. Плоскость β, параллельная плоскости α, пересекает боковые рёбра пирамиды в точках B1, B2, B3, , Bn и разбивает пирамиду на два многогранника. Один из многогранников заключён между основанием A1A2A3An, боковыми гранями исходной пирамиды и многоугольником B1B2B3Bn.

Этот многогранник является усечённой пирамидой и обозначается A1A2A3AnB1B2B3Bn.

Рис. 1. Усечённая пирамида A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>…A<sub>n</sub>B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>B<sub>3</sub>…B<sub>n</sub> Рис. 1. Усечённая пирамида A1A2A3…AnB1B2B3…Bn

Многоугольники A1A2A3An и B1B2B3Bn называются основаниями усечённой пирамиды.

 

Многоугольники A1A2B2B1A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn называются боковыми гранями усечённой пирамиды.

 

Отрезки A1B1A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

 

На рисунке также показана высота SH исходной пирамиды и высота CH усечённой пирамиды.


Определение 2

 

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды .


Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. Докажем, например, что боковая грань A1A2B2B1 – трапеция (рис. 1). Стороны A1A2 и B1B2 параллельны, так как лежат на прямых, по которым плоскость SA1A2 пересекается с параллельными плоскостями α и β. Другие две стороны A1B1 и A2B2 этой грани не параллельны, поскольку прямые, которым принадлежат эти стороны, пересекаются в точке S. Таким образом, в четырёхугольнике A1A2B2B1 две противоположные стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Значит, A1A2B2B1 – трапеция. Аналогично доказывается, что и остальные грани – трапеции.

 

Введём понятие правильной усечённой пирамиды.


Определение 3

 

Правильной усеченной пирамидой  называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.


Основания усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равные между собой равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами .


Теорема 1

 

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.


Доказательство

Рис. 2. К доказательству теоремы 1 Рис. 2. К доказательству теоремы 1

Боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные между собой равнобедренные трапеции с одним и тем же верхним основанием a, нижним b и высотой (апофемой) l (рис. 2). Поэтому площадь одной грани равна 12·(a+b)·l. Площадь всех граней, т.е. боковая поверхность, равна 12·(an+bn)·l, где n – число вершин у основания пирамиды, an и bn – периметры оснований пирамиды.

 

Теорема доказана. 


Пример 1

 

Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.


Решение

Рис. 3. К примеру 1 Рис. 3. К примеру 1

Пусть квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4 являются основаниями правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (рис. 3).

По условию A1A2=10 смB1B2=2 см.

Диагональное сечение этой призмы A1A3B3B1 является равнобедренной трапецией с основаниями A1A3 и B1B3.

Найдём эти основания.

 

A1A3=A2A32+A1A22=102+102=200=102,

B1B3=B2B32+B1B22=22+22=8=22.

 

По условию высота пирамиды равна 7 см.  Значит, в прямоугольном треугольнике A1B1H1 катет B1H1 равен 7 см. Найдём катет A1H1.

 

A1H1=A1A3-B1B32=102-222=42.

 

Найдём теперь боковое ребро усечённой пирамиды A1B1, которое является гипотенузой прямоугольного треугольника A1B1H1.

 

A1B1=A1H12+B1H12=422+72=32+49=81=9 см.

 

Ответ: 9 см.


Пример 2

 

Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдите высоту пирамиды.


Решение

Рис. 4. К примеру 2 Рис. 4. К примеру 2

Центры оснований O1 и O2 правильной треугольной пирамиды A1A2A3B1B2B3 (рис. 4) делят медианы оснований A3M и B3N в отношении 2:1 считая от вершин. Отрезок O1O2 является высотой пирамиды. 

 

Найдём сначала медианы равносторонних треугольников A1A2A3 и B1B2B3 (они также являются и высотами этих треугольников).

A3M=A2A32-A2M2=42-22=16-4=12=23 дм;

 

B3N=B2B32-B2N2=12-122=1-14=34=32 дм.

 

Теперь найдём отрезки A3O1 и B3O2.

 

A3O1=23·A3M=23·23=433 дм;

B3O2=23·B3N=23·32=33 дм.

 

Рассмотрим прямоугольную трапецию O1A3B3O2. Проведём высоту B3H.

 

B3H=O1O2.

A3H=A3O1-B3O2=433-33=3 дм.

 

По условию A3B3=2 дм.

Тогда по теореме Пифагора получим

 

B3H=A3B32-A3H2=22-32=4-3=1 дм.

 

Таким образом, мы нашли высоту усечённой пирамиды O1O2=1 дм.

 

Ответ: 1 дм.


Упражнение 1

 

1. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.

2. Стороны оснований усечённой правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60o. Найдите высоту.

3. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4 см. Стороны оснований равны 2 см и 8 см. Найдите площади диагональных сечений.

4. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь полной поверхности.


Контрольные вопросы

 

  1. Сформулируйте определение усечённой пирамиды.
  2. Какая усечённая пирамида называется правильной?
  3. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды.


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 6 см;
  2. 2 см;
  3. 202;
  4. 168 м2.

Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История