Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Перпендикуляр и наклонные

План урока

  • Расстояние от точки до плоскости;
  • Теорема о трех перпендикулярах.

Цели урока

  • Знать, что такое перпендикуляр к плоскости, наклонная и проекция на плоскость;
  • Знать, как измеряется расстояние от точки до плоскости;
  • Знать и уметь применять теорему о трёх перпендикулярах;
  • Знать, что называется углом между прямой и плоскостью.

Разминка

  • При каком условии прямая называется перпендикулярной к плоскости?
  • Что называют расстоянием от точки до прямой?
  • Как определяется угол между прямыми в пространстве?

Расстояние от точки до плоскости


Определение 1

 

Перпендикуляром , опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной к плоскости.


Рис. 1. Рис. 1.

На рисунке 1 показана прямая n, проведённая через точку A, перпендикулярно к плоскости α. Прямая n и плоскость α пересекаются в точке H. Отрезок AH в данном случае и является перпендикуляром, проведённым из точки A к плоскости α


Определение 2

 

Наклонной , проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.


Рис. 2. Рис. 2.

На рисунке 2 показаны перпендикуляр AH и наклонная AM проведённые из одной и той же точки A. Точку H, при этом, называют основанием перпендикуляра, а точку M – основанием наклонной.

Отрезок MH называют проекцией наклонной AM на плоскость α.


Определение 3

 

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной .


Сравним перпендикуляр AH и наклонную AM (рис. 2).

Рассмотрим треугольник AHMAHM=90°, так как AH – перпендикуляр к плоскости. Значит, ΔAHM – прямоугольный. При этом AM – гипотенуза, а AH – катет прямоугольного треугольника AHM. Следовательно, AH<AM.

Таким образом, перпендикуляр, проведённый из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой плоскости. Это означает, что из всех расстояний от точки A до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки H. За расстояние от точки A до плоскости α принимают длину именно этого отрезка AH.


Определение 4

 

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости.


С расстоянием от точки до плоскости связаны следующие понятия:

  1. расстояние между параллельными плоскостями,
  2. расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью,
  3. расстояние между скрещивающимися прямыми.

Сформулируем определения этих понятий.


Определение 5

 

Расстоянием между параллельными плоскостями  называют расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

 

Определение 6

 

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью  называют расстояние от любой точки данной прямой до данной плоскости.

 

Определение 7

 

Расстоянием между скрещивающимися прямыми  называют расстояние от произвольной точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.


Пример 1

 

Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все её точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.


Доказательство

Рис. 3. К примеру 1 Рис. 3. К примеру 1

Пусть a – данная прямая и α – данная плоскость (рис. 3). Возьмём на прямой a две произвольные точки X и Y. Их расстояния до плоскости α – это длины перпендикуляров XX1 и YY1, опущенных на эту плоскость. Так как XX1α и YY1α, то XX1YY1, значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость α по прямой X1Y1. Прямая a параллельна прямой X1Y1, так как не пересекает содержащую её плоскость α. Таким образом, у четырёхугольника XX1Y1Y противолежащие стороны параллельны. Значит, он параллелограмм, следовательно, XX1=YY1. Точки X и Y были выбраны произвольно на прямой a, а значит все точки прямой a находятся на одинаковом расстоянии от плоскости α. Что и требовалось доказать.


Упражнение 1

 

1. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен 30°. Найдите наклонную и её проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен 6 см.

2. Расстояние от точки A до каждой из вершин правильного треугольника MNK равно 8 см. Найдите расстояние от точки A до плоскости MNK, если MN=12 см.

3. Через вершину прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость параллельная гипотенузе, на расстоянии 1 м от неё. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.

4. Через одну сторону ромба проведена плоскость на расстоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найдите проекции сторон.


Теорема о трёх перпендикулярах


Теорема 1

 

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.


Доказательство

Рис. 4. К доказательству теоремы 1 Рис. 4. К доказательству теоремы 1

На рисунке 4 отрезок AH – перпендикуляр к плоскости αAM – наклонная, a – прямая, проведённая в плоскости α через точку M перпендикулярно к проекции HM наклонной. Докажем, что прямая a перпендикулярна наклонной AM.

aHM по условию и aAH, так как AHα.

Следовательно, прямая a перпендикулярна к плоскости треугольника AMH, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым AH и HM, лежащим в этой плоскости. Значит, прямая a перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости AMH. Поэтому, aAM

 

Теорема доказана.

Справедливо также и обратное утверждение: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.


Пример 2

 

Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.


Решение

Рис. 5. К примеру 2 Рис. 5. К примеру 2

Пусть A, B, C – точка касания сторон треугольника с окружностью, то есть стороны треугольника являются касательными к окружности, O – центр окружности и S – точка на перпендикуляре (рис. 5). Так как радиус OA перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки S до стороны треугольника.

По теореме Пифагора A=AO2+OS2=r2+OS2, где r – радиус вписанной окружности. Аналогично находим SB=r2+OS2SC=r2+OS2, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.


Упражнение 2

 

1. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

2. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из его сторон – 6,1 м. Найдите расстояние от основания этого перпендикуляра до сторон треугольника.

3. Из вершин равностороннего треугольника ABC восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны BC, если AD=13 см, BC=6 см.

4. Расстояния от точки A до всех сторон квадрата равны a. Найдите расстояние от точки A до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна d.


Контрольные вопросы

 

  1. Что такое перпендикуляр и наклонная к плоскости?
  2. Что называют проекцией наклонной на плоскость?
  3. Что принимают за расстояние от точки до плоскости?
  4. Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.


Ответы

Упражнение 1

 

  1. Наклонная равна 43 см; проекция равна 23 см.
  2. 4 см.
  3. 6 м.
  4. 5 м и 3 м.

Упражнение 2

 

  1. 2,5 м.
  2. 6 м.
  3. 14 см.
  4. a2-d28

Угол между прямой и плоскостью

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История