Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

План урока

  • Двугранный угол;
  • Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Цели урока

  • Знать определение двугранного угла;
  • Уметь определять величину двугранного угла;
  • Знать какие плоскости называются перпендикулярными;
  • Уметь доказывать и применять признак перпендикулярности плоскостей.

Разминка

  • Какую фигуру на плоскости называют углом?
  • Какие прямые называются перпендикулярными?
  • Как определяется угол между прямыми на плоскости и в пространстве?

Двугранный угол

 

Из планиметрии мы знаем, что углом на плоскости называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Наряду с этим в стереометрии рассматривают ещё и двугранный угол. Дадим определение этого понятия.


Определение 1

 

Двугранным углом  называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 1). Полуплоскости называются гранями , а ограничивающая их прямая – ребром двугранного угла .


Рис. 1. Двугранный угол Рис. 1. Двугранный угол

Если на разных гранях двугранного угла отмечены точки C и D, а на ребре этого угла отмечены точки A и B, то данный угол обозначают CABD (рис. 1).

 

Примерами, иллюстрирующими двугранный угол, могут быть полураскрытая книга, двускатная крыша, раскрытый ноутбук и т.д.

Углы на плоскости, как известно, можно измерить с помощью транспортира. Каким же образом можно измерить двугранные углы?

 

Отметим на ребре двугранного угла некоторую точку.

 

В каждой грани из этой точки проведём луч перпендикулярно к ребру. Величина угла, образованного этими лучами не зависит от выбора точки на ребре. Поэтому построенный таким образом угол и используют для измерения величины двугранного угла. Называют такой угол линейным углом двугранного угла .


Определение 2

 

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.


Рис. 2. Линейный угол двугранного угла Рис. 2. Линейный угол двугранного угла

На рисунке 2 из точки O, лежащей на ребре двугранного ребра в каждой грани проведены перпендикуляры к этому ребру OA и OB. Угол AOB является линейным углом двугранного угла.

 

Понятия прямого, острого и тупого угла распространяются и на двугранные углы.

Двугранный угол называется прямым, если он равен 90°

Двугранный угол называется острым, если он меньше 90°.

Двугранный угол называется тупым, если он больше 90°.


Пример 1

 

Из точек A и B, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры AA1 и BB1 на ребро угла. Найдите длину отрезка AB, если AA1=3, BB1=4, A1B1=6 и двугранный угол равен 60°.


Решение

Рис. 3. Рис. 3.

Проведём прямые A1CBB1 и BCA1B1 (рис. 3). Четырёхугольник A1B1BC – параллелограмм, значит, A1C=BB1=4. Прямая A1B1 перпендикулярна плоскости треугольника AA1C, так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости AA1 и CA1. Следовательно, параллельная ей прямая BC тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник ABC – прямоугольный с прямым углом C. Из теоремы косинусов для AA1C:

 

AC=AA12+A1C2-2·AA1·A1C·cos 60°=
=32+42-2·3·4·cos 60°=13.

 

 По теореме Пифагора для ABC найдём AB:

 

AB=AC2+BC2=13+62=49=7.

 

Ответ: AB=7.


Упражнение 1

 

1. Двугранный угол равен 30°. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла на 12 см. Найдите расстояние от данной точки до второй грани. 

2. Равнобедренный треугольник ABC и правильный треугольник ABD не лежат в одной плоскости. Отрезок BD является перпендикуляром к плоскости ADC. Найдите двугранный угол BACD если AB=BC=25 см, AC=4 см.


Признак перпендикулярности двух плоскостей

 

Рис. 4. Рис. 4.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 4).

Обозначим один из углов, а именно тот, который не превосходит 90°, буквой φ.

Этот угол принимают за угол между пересекающимися плоскостями.

Другие три угла равны соответственно 180° φφ и 180° φ. Очевидно, что если φ = 90°, то и остальные углы равны 90°.


Определение 3

 

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90°.


Примером перпендикулярных плоскостей являются смежные стены комнаты, а также стена и потолок комнаты.

 

Сформулируем и докажем признак перпендикулярности плоскостей.


Теорема 1

 

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.


Доказательство

Рис. 5. К доказательству теоремы 1 Рис. 5. К доказательству теоремы 1

Пусть плоскость α проходит через прямую AB, перпендикулярную к плоскости β и пересекающую её в точке A (рис. 5). Докажем, что αβ.

Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой AC. Так как прямая AB перпендикулярна к плоскости β, то прямая AB перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости, значит ABAC.

Если в плоскости β провести прямую AD, перпендикулярную к прямой AC, угол BAD будет представлять собой линейным углом двугранного угла DACB (двугранный угол, образованный при пересечении плоскостей α и β). При этом BAD=90°, так как прямая AB перпендикулярна к плоскости β. Следовательно, угол между плоскостями α и β равен 0°. Значит αβ.

 

Теорема доказана.

Из рассмотренного признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из данных плоскостей.


Пример 2

 

Прямая DA проходит через вершину треугольника ABC, причём DAAB  и DAAC. Докажите перпендикулярность плоскостей DAC и ABC.


Решение

Рис. 6. Рис. 6.

Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым AB и AC (рис. 6).

Следовательно, прямая DA перпендикулярна плоскости ABC. Значит, плоскость ADC проходит через прямую AD, перпендикулярную плоскости ABC. По признаку перпендикулярности плоскостей плоскость DAC перпендикулярна плоскости ABC. Что и требовалось доказать.


Контрольные вопросы

 

  1. Что называют двугранным углом?
  2. Что принимают за градусную меру двугранного угла?
  3. Какие плоскости называют взаимно перпендикулярными?
  4. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 24 см.
  2. 30o.

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История