Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии

Законы сохранения в механике

Решение задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии

План урока

  • Основные формулы
  • Примеры решения задач

Цели урока

  • Знать основные формулы для законов сохранения импульса и механической энергии
  • Уметь применять закон сохранения импульса
  • Уметь применять закон сохранения энергии

Разминка

  • Какие тела обладают кинетической энергией?
  • Что называют импульсом тела?
  • Какие удары являются называются упругими, а какие абсолютно неупругими?

Основные формулы

 

Перечислим основные формулы и законы, которые нам понадобятся для решения задач с использованием законов сохранения импульса и механической энергии.

 

  • Импульс тела:

p=m·v.
 

  • Закон сохранения импульса при абсолютно упругом ударе двух тел:

m1·v1+m2·v2=m1·u1+m2·u2.
 

  • Закон сохранения импульса при неупругом ударе двух тел:

m1·v1+m2·v2=(m1+m2)·u.
 

  • Кинетическая энергия тела, двигающегося со скоростью v:

Eк=m·v22.
 

  • Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h:

Eп=m·g·h.

 

  • Потенциальная энергия упруго деформированной пружины, растянутой или сжатой на расстояние x от положения равновесия:

Eп=k·x22.

 

  • Закон изменения полной механической энергии системы тел:

                                                        A=Eмех=Eмехкон-Eмехнач,

    где A=Aтр+Aех – сумма работ внутренних сил трения Aтр и внешних сил Aех над телами системы; Eмехкон и Eмехнач – конечная и начальная механические энергии системы тел соответственно.

 

 

 

  • В случае, когда суммарная работа внутренних сил трения Aтр и внешних сил Aех над телами системы равна нулю, механическая энергия сохраняется:

Eмех=E1п+E1к=E2п +E2к ;
 

m·g·h1+m·v122=m·g·h2+m·v222.

 

 

Примеры решения задач


Пример 1

 

Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули m1 = 8 г, масса шара m2 = 0,9 кг. Скорость пули v = 400 м/с. При каком предельном расстоянии l от центра шара до точки подвеса стержня шар от удара пули поднимется до верхней точки окружности?


Решение
 

1. Перечислим исходные данные:

 

m1=8 г=8·10-3 кгm2=0,9 кгv=400 мсl-?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру Рис. 1. Иллюстрация к примеру

2. Примем рассматриваемые тела за материальные точки, а инерциальную систему отсчёта свяжем с Землей. Рассмотрим, как будет происходить физический процесс (см. рис. 1). Пуля летит, попадает в шар, происходит неупругий удар. Теперь приходит в движение система «шар + пуля», траектория движения которой представляет собой дугу окружности. 

 

3. Зададимся вопросом, какие физические законы следует применить для решения задачи. Чтобы понять, с какой скоростью начнет двигаться система «шар + пуля» сразу после столкновения, применим закон сохранения импульса для неупругого удара:

m1·v=(m1+m2)·u.
 

Направим ось OX горизонтально вправо и спроецируем скорости: 

 

m1·v=(m1+m2)·u.
 

Выразим скорость системы «шар + пуля»:

 

u=m1·vm1+m2.

 

4. В результате столкновения пули с шаром, система приобретает кинетическую энергию, которая в наивысшей точке движения перейдет полностью в потенциальную. На рисунке отмечен нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда в наивысшей точке система «шар + пуля» будет иметь потенциальную энергию:
 

Eп=m1+m2·g·2l=2·m1+m2·g·l.
 

Воспользуемся законом сохранения энергии для системы «шар + пуля»:

 

m1+m2·u22=2·m1+m2·g·l.
 

Подставим формулу в выражение выше и выразим оттуда l

 

m1+m22·m1·vm1+m22=2·m1+m2·g·l;

 

l=m12·v24g·m1+m22

 

5. Найдем численное значение:
 

l=8·10-32·40024·10·8·10-3+0,92=0,31 м.

 

Ответ: l=0,31 м.


Пример 2

 

Разберем качественную задачу, решение которой будет полезно при решении задач на законы сохранения. Два шара массами m1m2 двигаются навстречу друг другу со скоростями v1v2 в горизонтальном направлении. Определить скорости шаров в результате центрального абсолютно упругого удара.


Решение

Рис. 2. Иллюстрация к примеру Рис. 2. Иллюстрация к примеру

1. Первым делом разберемся с терминологией. Абсолютно упругий удар – это такой удар, в результате которого механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии, то есть энергия сохраняется. А центральный удар – это удар, при котором тела двигаются вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел. Рассмотрим случай, в котором шары после удара разлетелись в противоположные стороны.

2. Будем предполагать, что шары образуют замкнутую систему. Тогда для центрального абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса (ЗСИ) и закон сохранения энергии (ЗСЭ).

 

Начнем с ЗСИ: 

 

m1·v1+m2·v2=m1·u1+m2·u2.
 

Спроецируем скорости на ось ОХ: 

 

OX: m1·v1-m2·v2=-m1·u1+m2·u2.
 

Запишем ЗСЭ: 

 

m1·v122+m2·v222=m1·u122+m2·u222.

 

3. Наша задача решить систему уравнений относительно величин u1 и u2.

 

m1·v1-m2·v2=-m1·u1+m2·u2m1·v122+m2·v222=m1·u122+m2·u222
 

Преобразуем систему:

 

m1·v1+u1=m2·v2+u2m1·v12-u12=m2·u22-v22

 

m1·v1+u1=m2·v2+u2m1·v1+u1·v1-u1=m2·v2+u2·u2-v2

 

Поделим второе уравнение системы на первое: 

 

v1-u1=u2-v2u1=v1-u2+v2.
 

Теперь рассмотрим новую систему, которая легко решается:

 

m1·v1+u1=m2·v2+u2u1=v1-u2+v2

 

4. После небольших преобразований, получаем выражения для скоростей:
 

u1=v1·m2-m1+2m2·v2m1+m2u2=v2·m1-m2+2m1·v1m1+m2

 

5. Из анализов конечного результата, можно заметить, что если массы шаров одинаковы, то тела просто обмениваются скоростями:
 

u1=v2;

u2=v1.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру Рис. 3. Иллюстрация к примеру

6. Возможна ситуация, когда шары после удара двигаются в одном направлении. 

 

Решение такой задачи аналогично предыдущей, с учетом новых проекций скоростей.

 

u1=v1·m1-m2+2m2·v2m1+m2u2=v2·m1-m2+2m1·v1m1+m2


При  абсолютно неупругом ударе  закон сохранения импульса выполняется, а закон сохранения энергии – нет. Энергия может выделиться в виде теплоты или пойти на изменение внутренней энергии тел.


В случае  абсолютно упругого удара  выполняется как закон сохранения импульса, так и закон сохранения энергии.


Пример 3

 

На столе лежит невесомая пружина жесткостью 1 кН/м, прикрепленная одним концом к грузу массой 0,2 кг, а другим к стене. Груз сдвигают, сжимая пружину, и отпускают. Найдите длину, на которую сжали пружину, если после отпускания груза его скорость достигла величины 3 м/с. Трением пренебречь.


Решение
 

1. Перечислим исходные данные:

 

m=0,2 кгk=1 кНм=103 Нмv=3 мсx-?

Рис. 4. Иллюстрация к примеру Рис. 4. Иллюстрация к примеру

2. Как только мы сожмем пружину, так сразу же в ней возникнет сила упругости, которая захочет вернуть пружину в исходное положение. По условию трением следует пренебречь, тогда система начнет совершать гармонические колебания, во время которых энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую. Момент, когда пружина сжата изображен на рисунке 4.

Рис. 5. Иллюстрация к примеру Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Как только мы отпустим груз, так сразу пружина придет в движение, и проходя положение равновесия, груз достигнет максимальной скорости (рис. 5).

 

3. Сила тяжести и сила реакции опоры направлены перпендикулярно направлению движения. Рассмотрим замкнутую систему «груз+пружина», для которой, в отсутствие сил трения, будет выполняться закон сохранения энергия:

 

k·x22=m·v22.
 

Выразим отсюда x:

 

x=m·v2k=0,2·9103=0,04 м=4 см.

 

Ответ: x=4 см.


Упражнение 1

 

1. Груз массой 0,4 кг падает с некоторой высоты на подложку массой 2 кг, закрепленную на пружине. Определите наибольшее сжатие пружины, если в момент удара скорость груза равнялась 8 м/с. Жесткость пружины k = 1 кН/м.
 

2. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 800 раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра 2 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара на угол 7°.


Контрольные вопросы

 

1. Как выглядит закон сохранения импульса при неупругом ударе?
2. Что такое центральный удар?
3. Что называют полной механической энергией?


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. ≈ 9,3 см.

 

2. ≈ 437 м/с.


Механическая энергия системы тел. Изменение механической энергии. Закон сохранения механической энергии

Законы сохранения в механике
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История