Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

Динамика

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

План урока

  • Динамика равномерного движения материальной точки по окружности
  • Примеры решения задач

Цели урока

  • Знать: направление и формулу мгновенной скорости при движении по окружности; направление и формулу центростремительного ускорения
  • Уметь: находить линейную скорость и центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности; применять второй и третий законы Ньютона для решения задач на равномерное движение тела по окружности

Разминка

  • Как направлена мгновенная скорость тела, движущегося по окружности?
  • Куда направлена сила трения, действующая на тело, движущееся по окружности?
  • Как направлена равнодействующая сил тела, движущегося по окружности?

Динамика равномерного движения материальной точки по окружности

 

Вам уже известно, что материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью v, при этом направление вектора скорости постоянной меняется и в любой момент времени направлено по касательной к окружности, по которой движется тело (рис. 1).

Рис. 1. Направление скорости и ускорения тела, движущегося по окружности Рис. 1. Направление скорости и ускорения тела, движущегося по окружности

Благодаря изменению направления вектора скорости v тело, движущееся по окружности, обладает центростремительным ускорением, которое в любой момент времени направлено к центру окружности и вычисляется по следующей формуле:

 

aцс=v2R=ω2·R.

 

По второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение: F=m·a.

Тогда сумма сил, действующих на движущееся по окружности тело, вычисляется по следующей формуле:

F=m·aцс.


В инерциальной системе отсчета сумма всех сил, действующих на движущееся по окружности тело, равна произведению его массы на центростремительное ускорение: F=m·aцс.


Из соотношения выше следует два важных вывода.


Во-первых, равнодействующая сил, действующих на тело, равномерно движущееся по окружности, в любой момент времени направлена к центру окружности.


Во-вторых, модуль суммы сил может быть рассчитан по следующим формулам:

 

F=m·aцс=m·v2R=m·ω2·R.

 

При решении задач на движение материальной точки по окружности рекомендуется придерживаться следующих правил:

 

  • началом отсчета является центр окружности;
  • координатную ось проводят через начало отсчета и точку на окружности, в которой в данный момент находится тело;
  • положительное направление оси ОХ совпадает с направлением равнодействующей, то есть ось направлена к центру.

Такой выбор системы отсчета не случаен: проекции центростремительного ускорения и суммы всех сил на ось ОХ в данном случае будут положительны, благодаря чему будет справедливо следующее равенство:

 

F=Fx=m·aцс.

 

Проекции равнодействующей и ускорения на другие координатные оси в данной системе отсчета будут равны нулю.

 

Примеры решения задач


Пример 1

 

Автомобиль совершает поворот на горизонтальной дороге по дуге окружности. Каков минимальный радиус окружности траектории автомобиля, если его скорость равна v = 72 км/ч, а коэффициент трения автомобильных шин о дорогу 0,4?


Решение

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1 Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1

1. Автомобиль движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.
 

2. В качестве тела отсчета выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку А, в которой в начальный момент находится автомобиль (рис. 2). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.


На тело действует сила трения, направленная к центру вдоль оси ОХ, сила тяжести и сила реакции опоры, действующие вдоль оси OY.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для автомобиля:
 

Fтр+m·g+N=m·aцс.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

OX: Fтр=m·aцс;

OY: N-m·g=0.

 

5. Запишем формулы силы трения и центростремительного ускорения:
 

Fтр=μ·N;

 

aцс=v2R.
 

Решаем систему уравнений с учетом выражений выше:
 

μ·N=m·v2RN-m·g=0

 

R=v2μ·g=2020,4·10=100 м.

 

Ответ: R=100 м.


Пример 2

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2 Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2

 

Тело, подвешенное на нити, вращается в плоскости, параллельной поверхности Земли (рис. 3). Найти силу натяжения нити и радиус окружности, по которой движется тело, если масса тела m = 200 г, скорость движения v = 4 м/с, а угол α = 30°.


Решение
 

1. Тело движется поступательно, следовательно, его можно принять за материальную точку.

Рис. 4. Силы, действующие на тело, вращающееся на нити Рис. 4. Силы, действующие на тело, вращающееся на нити

2. В качестве тела отсчета выберем поверхность Земли. Ось ОХ проводим через центр окружности и точку, в которой в начальный момент находится рассматриваемое тело (рис. 4). Координатная ось ОХ направлена к центру окружности, по которой вращается тело. Ось ОY направлена перпендикулярно поверхности Земли.


На тело действует сила натяжения нити и сила тяжести. В данном случае центростремительное ускорение является следствием действия равнодействующей F силы тяжести и силы натяжения нити.

3. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
 

m·g+T=m·aцс.
 

4. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на координатные оси:
 

OX: sin(α)·T=m·aцс;

OY: cos(α)·T-m·g=0.

 

5. Запишем формулу центростремительного ускорения:
 

aцс=v2R.

 

С учетом формулы выше получаем следующую систему уравнений:
 

sin(α)·T=m·v2Rcos(α)·T=m·g

 

Из уравнения cos(α)·T-m·g=0 находим силу натяжения нити:

 

T=m·gcos(α)=0,2·10cos(30°)2,3 Н.

 

Подставляем полученное значение в формулу sin(α)·T=m·aцс и находим радиус окружности:

 

R=m·v2sin(α)·T=0,2·42sin(30°)·2,32,8 м.

 

Ответ: T=2,3 НR=2,8 м.


Упражнение 1

 

1. С какой максимальной скоростью может ехать велосипедист по горизонтальной плоскости, описывая дугу радиусом 45 м, если коэффициент трения резины о дорогу 0,5.
 

2. Автомобиль массой 1,5 т проезжает по выпуклому мосту радиусом 200 м со скоростью 72 км/ч. Найти вес автомобиля в наивысшей точке моста.


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. v = 15 м/с. 

 

2. Р = 12 кН.


Закон всемирного тяготения. Движение планет и искусственных спутников

Динамика

  • Обучение грамоте. Письмо. Первая учебная тетрадь

    Русский язык

  • Язык и речь

    Русский язык

  • Числа от 1 до 100. Счёт десятками.

    Математика