Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Уравнение sin x = a

Тригонометрия

Уравнение sin x=a. Арксинус числа

План урока

  • Арксинус числа.
  • Формула решения простейшего тригонометрического уравнения sin x=a.
  • Вычисление значений тригонометрических выражений.
  • Частные случаи решения уравнения sin x=a.
  • Решение уравнений.

Цели урока

  • Знать определение арксинуса числа.
  • Знать формулу решения уравнения sin x=a.
  • Знать частные случаи решения уравнения sin x=a.
  • Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения типа sin x=a.
  • Уметь вычислять значения тригонометрических выражений.

Разминка

Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол Рис. 1 Поворот точки А(1; 0) на некоторый угол

На единичной окружности отмечена точка В, ордината которой равна -12(Рис. 1). 

 

Найти:

  • Абсциссу точки В.
  • Меру угла АОВ в радианах.
  • Координаты точки С.
  • Меры любых трех углов, на которые повернули точку А(1; 0), чтобы получить точки В и С (в радианах).
  • Все углы, на которые нужно повернуть точку А, чтобы получить точки В и С.

 

Решение простейшего тригонометрического уравнения sin x=a

 

Рассмотрим следующий вид простейших тригонометрических уравнений, а именно sin x=a.

 

По определению, синус угла — это ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на некоторый угол a. Из определения следует, что sinα1. Если α>1, т. е. когда мы выйдем за пределы единичной окружности, то уравнение sin x=a корней иметь не будет. Например, уравнение sin x=-1,5.


Пример 1

Решить уравнение sinx=22

 


Решение

Рис. 2. Решение уравнения 1 Рис. 2. Решение уравнения 1

У точек B1 и B2 ординаты равны 22 (Рис. 2). Помним, что 22=sinπ4. Тогда, для того, чтобы получить точку B1 нужно повернуть точку А(1; 0) на угол x1=π4. Но в нее же можно попасть и при повороте на угол x=π4+2πk, kZ. Точка B2 получается из А(1; 0) поворотом на x2=π-π4=3π4, и на углы x=3π4+2πk, kZ. То есть корни уравнения sinx=22 можно найти по формулам x=π4+2πk,  x=π-π4+2πk, kZ. А их, в свою очередь, можно объединить в одну: x=(-1)nπ4+πn, nZ. Видим, что если в этой формуле n — четное число (n=2k), то получим x=π4+2πk, kZ, а если n — нечетное число (n=2k+1), получим x=π-π4+2πk, kZ.

 

Ответ: (-1)nπ4+πn, nZ.


Пример 2

Решить уравнение sinx=-22.


Решение

Рис. 3. Решение уравнения 2 Рис. 3. Решение уравнения 2

У точек B1 и B2 ординаты равны -22(Рис. 3). Значит, 

x1=-π4+2πk, kZ, а 

x2=-π+π4+2πk, kZ, т. е.

x2=-3π4+2πk, kZ. Тогда все решения уравнения sinx=-22 можно задать одной формулой x=(-1)n(-π4)+πk, kZ. В этой формуле если n — четное число (n=2k), то получим x=-π4+2πk, kZ, а если n — нечетное число (n=2k-1),  получим x=-3π4+2πk, kZ.

 

Ответ: (-1)n(-π4)+πk, kZ.


Из решений примеров 1 и 2 видно, что уравнения sinx=22 и sinx=-22имеют бесконечное множество корней. Но, заметим, что на [-π2;π2] у каждого уравнения только один корень. Для первого уравнения это x=π4, число π4 называют арксинусом числа 22 (обозначают π4=arcsin 22); для второго — x=-π4, называют арксинусом числа (-22) (обозначают -π4=arcsin (-22)).

 

Вообще говоря, уравнение sin x=a при α1(или, другими словами, при -1α1) имеет единственный корень на отрезке [-π2;π2], причем, если α0, то корень лежит на отрезке [0;π2], если a<0, то на промежутке [-π2;0) и этот корень называется арксинусом числа α (arcsinα).


Арксинусом числа a , где α[-1;1] называется такое число α[-π2;π2], синус которого равен a:

 

arcsin a=a, если sin a=a и  α[-π2;π2].


Для любого α[-1;1] справедливо равенство 

 

sin(arcsin a)=a.          (1)

 

Равенство 

 

arcsin(sin a)=a                 (2)

 

верно только при α[-π2;π2], хотя выражение arcsin(sin a) имеет смысл при всех αR. 

Для любого α[-1;1] верно равенство

 

arcsin(-a)=-arcsin a.             (3)


Все корни уравнения sin x=a, где α1, можно находить по формуле 

 

x=(-1)narcsin α+πk, nZ.             (4)


Пример 3

Вычислить:

 

а) 12arcsin(-32)+0,6arcsin0;

б) arcsin(sin22π7);

в) cos(arcsin1213).


Решение

 

а) Так как -32<0, то arcsin(-32) — число из промежутка [-π2;0), синус которого равен -32. Значит, arcsin(-32)=-π3; arcsin0=0. Подставим найденные значения в исходное выражение: 12arcsin(-32)+0,6arcsin0=12×(-π3)+0,6×0=-π6.

 

б) Воспользоваться формулой (2) мы здесь не можем, т. к. 22π7[-π2;π2]. Поэтому нужно найти число из [-π2;π2], синус которого будет равен sin22π7. Так как sin22π7=sin(3π+π7)=sin(2π+π+π7)=sin(π+π7)=-sinπ7=sin(-π7), где -π7-π2;π2, то arcsin(sin22π7)=-π7.

 

в) Пусть arcsin1213=x, отсюда по определению арксинуса числа sinx=1213, x-π2;π2. Тогда с новыми обозначениями нужно найти cos x, где x-π2;π2. По следствию из основного тригонометрического тождества, с учетом того, что x лежит в I или IV четверти, в которых косинус угла положительный cosx=1-sin2x=1-144169=513.

 

Ответ: а) -π6;

              б)-π7;

              в)513.


Упражнение 1

Вычислить:

 

1. 5arcsin(-12)+3arccos(-12);

2. 13arcsin(-1)+110arccos1;

3. sin(π-arcsin23).


Частные случаи решения уравнения sin x=a

 

Применим формулу (4) к простейшему тригонометрическому уравнению sin x=a,  когда a=0, a=1, a=-1.

 

sinx=0,             x=πk, kZ,                       (5)

sinx=1,            x=π2+2πk, kZ,             (6)

sinx=-1,        x=-π2+2πk, kZ.         (7)

 

Формулы (5)–(7) называют частными случаями решения уравнения sin x=a.


Пример 4

Решить уравнение:

 

а) 5sinx=2;

б) sin(3x+5π6)=0;

в) sin7xcos3x-cos7xsin3x=1.


Решение

 

а) Разделим обе части уравнения на 5: sinx=25,откуда по формуле (4) найдем корни x=(-1)narcsin25+πn, nZ.

 

б) По формуле (5) имеем 3x+5π6=πk, kZ, откуда 3x=-5π6+πk, kZ. Выразим x: x=-5π18+πk3, kZ.

 

в) Применив формулу синуса разности, получим: sin4x=1, откуда по (6) 4x=π2+2πk, kZ x=π8+πk2, kZ.

 

Ответ: а)(-1)narcsin25+πn, nZ.

              б)-5π18+πk3, kZ.

              в)π8+πk2, kZ.


Упражнение 2

Решить уравнение:

 

1. 12sinx4=24;

2. 2sin(2x+π3)+3=0;

3. (2sinx+1)(4+sinx)=0.


Контрольные вопросы

 

1. С помощью единичной окружности решить уравнение sinx=32.

2. Покажите на единичной окружности точки, соответствующие корням уравнения sinx=-0,7.

3. Найдите решения уравнения  sinx=-12 на промежутке [-3π2;π2].


Ответы

Упражнение 1

 

1. 3π4.

2. -π6.

3. 23.

 

 

Упражнение 2

 

1. π+8πk, kZ; 3π+8πn, nZ.

2. -π3+πk, kZ; -π2+πn, nZ.

3. -π6+2πn, nZ; -5π6+2πk, kZ.


Решение простейших тригонометрических неравенств. Уравнения, содержащие ограничения по ОДЗ

Тригонометрия
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История