Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Степенная функция, её свойства и график

Функции

Степенная функция, ее свойства и график

План урока

  • Введение понятия степенной функции
  • Ограниченная функция
  • Свойства степенной функции в зависимости от показателя степени
  • Решение задач на применение свойств степенной функции

Цели урока

  • Знать виды графиков степенной функции в зависимости от показателя степени, их свойства
  • Уметь использовать свойства степенной функции при решении задач

Разминка

С помощью графиков функций ответьте на вопросы:
 

  1. Какая область определения функции y=f(x)?
  2. Какое множество значений функции y=f(x)?
  3. Является ли функция четной? Нечетной?
  4. Найти промежутки возрастания, убывания функции.
  5. При каких значениях x функция принимает положительные значения? Отрицательные значения? Значение, равное 0?
  6. Найти значение функции при x=0,x=2.

Рис. 1

Начиная с 7 класса, вы знакомились с различными видами функций:

y=x,y=x2,y=x3,y=kx и т.д. Все перечисленные функции являются частными случаями функции y=xp, где pR, которая называется  степенной . Ее свойства зависят от свойств степени с действительным показателем, от того, при каких x, p имеет смысл xp.


Функция  y=f(x), определенная на множество Х, называется ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число С1, что для любого xX  выполняется неравенство f(x)C1.


Можно сказать, что все точки графика функции y=f(x),xX находятся выше прямой y=C1 или на этой прямой (см. рис. 2, а).


Функция y=f(x), определенная на множество Х, называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует такое число С2, что для любого  xX выполняется неравенство f(x)C2.


В этом случае все точки графика функции y=f(x),xX находятся ниже прямой y=C2 или на этой прямой  (см. рис. 2, б).

Рис. 2

Примерами функций, ограниченной снизу могут быть функции y=x2 y=x ограниченной сверху - y=-x2.


Функция  y=f(x), определенная на множестве Х, называется ограниченной на множестве Х, если она ограничена и сверху, и снизу, или, другими словами, когда существует такое число С, что для любого xX  выполняется неравенство |f(x)|C.


Пример ограниченных функций y=sin x,y=cos x,y=arctg x.

 

Рассмотрим свойства степенной функции y=xp в зависимости от показателя степени p.

 

Таблица 1. Свойства степенной функции y=xp (nN)


Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x5 на отрезке [-2;1].


Решение    

 

Функция y=x5 возрастает на всей своей области определения R, тогда наибольшее значение на отрезке [-2;1] она достигает в точке  x=1, а наименьшее в x=-2.

yнаиб=y(1)=1, yнаим=y(-2)=-32

 

Ответ: yнаиб=1, yнаим=-32.


Пример 2

Среди функций y=x-35, y=x4+2, y=(x-2)-3, y=(x-3)-25 выбрать ту, у которой множеством значений является множество всех действительных чисел кроме нуля.


 

Решение

 

E(x-35)=R.  E(x4+2)=[2;+)

У функции y=(x-2)-3 множеством значений является множество всех действительных чисел кроме нуля, т.к. -3<0, -3 – целое, нечетное.

E((x-3)-25)=(0;+)

 

Ответ: y=(x-2)-3.


Пример 3

Какая из функций y=x-6 или y=x3,3 возрастает на отрезке 3;7?


Решение

          

Отрезок  [3;7] принадлежит лучу x0. Функция y=x-6  убывает в каждой точке этого луча, т.к. степень отрицательная, четная. Функция y=x3,3 с положительной нечетной степенью возрастает везде на x0, значит, и на отрезке [3;7].

 

Ответ: y=x3,3.


Упражнение 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x6 на отрезке [-1;2].


Упражнение 2

Найти область определения функций:

 

а) y=(x4-x2)-4

б) y=(9-x2)57


Упражнение 3

Какая из функций y=x4-1 или y=2-x5 возрастает на отрезке [1;2]?


Итак:
 

  1. Функция вида y=xp, где pR называется степенной функцией.

       2. Свойства степенной функции в зависимости от показателя степени  можно увидеть в таблице.

 


Контрольные вопросы

  1. Какие из функций убывают, какие возрастают: y=x13, y=x52, y=x35, y=x-9?
  2. Приведите пример функции, ограниченной снизу, ограниченной сверху.


Ответы

Упражнение 1

yнаиб=64, yнаим=0

 

Упражнение 2

а) x0,x±1;     б) xR.

 

Упражнение 3

y=x4-1


 

Логарифмическая функция, её свойства и график

Функции
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История