Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разложение на множители

Тригонометрия

Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным

План урока

  • Решение тригонометрических уравнений, квадратных относительно одной из тригонометрических функций.

Цели урока

  • Знать вид тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.
  • Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.
  • Уметь решать уравнения, квадратные относительно одной из тригонометрических функций.

Разминка

  1. При каком значении a уравнение cos x=a имеет решение?
  2. В каком промежутке находится arccos a?
  3. Чему равен arccos(-a)?
  4. При каком значении a уравнение sin x=a имеет решение?
  5. В каком промежутке находится arcsin a?
  6. Чему равен arcsin(-a)?
  7. При каком значении a уравнение tg x=a имеет решение?
  8. В каком промежутке находится arctg a? Чему равен arctg(-a)?

 

При решении любого тригонометрического уравнения основной задачей является свести его к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения различных преобразований. Вспомним основные формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

 

sinx=a, a1          x=(-1)narcsina+πn, nZ;

cosx=a, a1          x=±arccosa+2πk, kZ;

tgx=a, aR            x=arctga+πk, kZ;

ctgx=a, aR          x=arcctga+πk, kZ.


Пример 1

Решить уравнение 3cos2x-5cosx+2=0


Решение

 

Пусть cosx=t, тогда уравнение примет вид 3t2-5t+2=0, отсюда x1=1, x2=23. Вернемся к исходной переменной: cosx=1 или cosx=23. Решением первого уравнения является x=2πk, kZ, второго — x=±arccos23+2πn, nZ.

 

Ответ: 2πk, kZ; ±arccos23+2πn, nZ.


Пример 2

Решить уравнение 5-7sinx=3cos2x.


Решение

 

По следствию из основного тригонометрического тождества cos2x=1-sin2x, тогда уравнение примет вид 5-7sinx=3-3sin2x. Сделаем замену sinx=t и приведем подобные слагаемые: 3t2-7t+2=0, t1=2, t2=13. Имеем  sinx=2, которое не имеет решений, т. к. sinx1, и sinx=13, откуда x=(-1)narcsin13+πk, kZ.

 

Ответ: x=(-1)narcsin13+πk, kZ.


Пример 3

Решить уравнение tgx=3ctgx.


Решение

 

ОДЗ: cosx0,sinx0,                 xπ2+πk, kZ,xπn, nZ,              xπk2, kZ. 

 

Так как ctgx=1tgx, то перепишем исходное уравнение в виде tgx-3tgx=0. Сделаем замену tgx=t, t0, тогда t-3t=0, t2-3t=0, откуда t=±3. Вернувшись к исходной переменной, имеем tgx=3, x=π3+πn, nZ и tgx=-3,  x=-π3+πk, kZ .

 

Ответ: π3+πn, nZ, -π3+πk, kZ .


Упражнение 1

Решить уравнение:

 

1) 4cos2x+4cos(π2+x)-1=0;

2) 2cos24x+2,5sin2xcos2x+1=0;

3) tgx+3ctgx=4.


Контрольные вопросы

 

1. Опишите алгоритм решения тригонометрического уравнения, сводящегося к квадратному.

2. Равносильны ли уравнения tgx=4ctgx и tgx-4tgx=0?


Ответы

Упражнение 1

 

1. π6+2πn, nZ; 5π6+2πk, kZ.

2. -π24+πn2, nZ; -5π24+πk2, kZ.

3. π4+πn, nZ; arctg3+πk, kZ.


Уравнение tg x = a

Тригонометрия
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История