Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Иррациональные неравенства

Решение уравнений и неравенств

Иррациональные неравенства

План урока

  • Понятие иррационального неравенства 
  • Методы решения иррациональных неравенств 
  • Решение иррациональных неравенств 

Цели урока

  • Знать понятие иррационального неравенства, методы его решения
  • Уметь решать иррациональные неравенства

Разминка

1. Найти ОДЗ неравенства
 

а) x-5·x12-x5;

б) (x-5)x12-x3.

 

2. Какой функции соответствует график:
 

а)  y=x;  б) y=x+4;     в) y=x+4;     г) y=x-4

Иррациональные неравенства 


Иррациональным неравенством называется неравенство, содержащее переменную под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. 


Методы решения иррациональных неравенств 

 

Основным методом избавления от корня n −й степени является возведение обеих частей неравенства в n −ую степень. Но следует помнить, что такое действие может привести к потере решений или получению посторонних. 


Пример 1

Решить неравенство:

 

а) 4-x<-5;

б) 4-x<5;

в) 4-x>5;

г) 4-x>-5;

д) x+8<x+2.


Решение
 

а) 4-x<-5
 

Левая часть неравенства неотрицательна при всех x из области допустимых значений (x4). Значит, она не может принимать значений, меньших 5

 

Ответ: нет решений.


б) 4-x<5
 

ОДЗ: x4. Возведем обе части неравенства во вторую степень: 4𝑥<25, откуда 𝑥>21. Тогда решением неравенства будет промежуток (21; 4]

 

Ответ: (21; 4]


в) 4-x>5
 

ОДЗ: x4. Возведем обе части неравенства в квадрат: 4-x>25, откуда x<-21. Тогда решением неравенства будет промежуток (-;-21).

 

Ответ: (-;-21).


г) 4-x>-5
 

ОДЗ: x4. На этом промежутке левая часть неравенства определена и неотрицательна. Тогда решением будут все значения x из ОДЗ.

 

Ответ: x4.


д) x+8<x+2
 

ОДЗ: x-8. Нужно избавиться от корня, а для этого возвести в квадрат обе части неравенства. Но правая часто неравенства может быть как положительная, так и неположительная. Поэтому рассмотрим два случая: 

 

1 случай. Если x+20x-2, то неравенство не имеет решений, т. к. левая его часть неотрицательна. 
 

2 случай. Если x+2>0x>-2, то обе части неравенства неотрицательны, возведем их во вторую степень. Получим x+8<x2+4x+4, равносильное исходному. Таким образом, неравенство x+8<x+2 равносильно системе неравенств x>-2x2+3x-4>0.  Решив данную систему, получим x>1.

 

Ответ:  x>1.


Для решения неравенств такого типа как в примере 1 д) можно воспользоваться утверждением. 


Утверждение 1 

Неравенство вида f(x)<gx равносильно системе
 

fx0gx>0fx<g2x

 

Неравенство вида fxgx равносильно системе


fx0gx0fxg2x


Пример 2

Решите неравенство x+8>x+2


Решение

 

ОДЗ: 𝑥8. Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим два случая, когда правая часть неотрицательна и отрицательна. 

 

1 случай. Если 𝑥+2<0𝑥<2, то решением неравенства являются все значения x, удовлетворяющие системе неравенств x+80x+2<0, откуда x[-8; -2),

2 случай. Если 𝑥+20𝑥2, то возведем в квадрат обе части неравенства. Исходное неравенство будет равносильно системе неравенств x-2x2+3x-4<0. Решив последнюю, получим x [2; 1)

Для записи решения объединим решения двух случаев: x [8; 1).

 

Ответ: [8; 1).


Утверждение 2 

Неравенство вида f(x)>gx равносильно совокупности двух систем неравенств  g(x)<0f(x)0 и g(x)0fx>g2x.

Неравенство вида fxgx равносильно gx0fx0gx>0fxg2x.


Утверждение 3 

fx<gxfx<gxfx0


Утверждение 4 

fx·gx0gx=0fx определенаgx>0fx0


Утверждение 5 

При решении неравенств вида fx±gx<hx (знак может быть >) можно 

воспользоваться следующим алгоритмом: 

  1. Найти область допустимых значений неравенства.
  2. Возвести обе части неравенства во вторую степень.
  3. Выполнить преобразования так, чтобы выражение под корнем стояло по одну сторону от знака неравенства, все остальное – по другую сторону.
  4. Возвести обе части неравенства во вторую степень.
  5. Решить получившееся неравенство.
  6. Выбрать решения, удовлетворяющие области допустимых значений.


Упражнение

Решить неравенство:
 

а) 4x-2<-1;

б) 1-2x6;

в) x3-2-2;

г) x2-x-12<x;

д) x-3>x-5


Контрольные вопросы

 

1. Опишите способы решения неравенства f(x)<gx.

2. Опишите способы решения неравенства f(x)>gx.


Ответы

Упражнение
 

а) нет решений; 

б) x[-352;12);        

в) x6

г) x4;

д) x[3;7).


Иррациональные уравнения

Решение уравнений и неравенств
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История