Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Арифметический корень натуральной степени

Корни

Арифметический корень натуральной степени

План урока

  • Введение арифметического корня натуральной степени
  • Введение корня нечетной степени из отрицательного числа
  • Перечисление основных свойств арифметического корня n-ой степени
  • Решение задач на свойства арифметического корня n-ой степени

Цели урока

  • Знать определение арифметического корня натуральной степени, свойства корня n-ой степени
  • Уметь применять свойства корня n-ой степени при решении задач

Разминка

1.Возвести в квадрат числа:

0; 6; -25; 223; 0,7; 0,3; 0,09; -1,8.
 

2. Представить в виде квадрата числа:

1; 6481; 0,0009; 0,0064; 364; 3,28.
 

3. Представить в виде куба числа:

827; 8164; -0,001; (-2)9; -26 .
 

4. Вычислить:

(0,2)3; (-5)4; (0,3)4; 25×24; 14×2-3.


Решим графически уравнение x4=16.

В одной и той же системе координат построим графики левой и правой частей уравнения, т.е. y=x4 и y=16. Они пересекаются в двух точках 

А -2, 16 и В 2, 16. Их абсциссы x1=-2, x2=2 являются решениями уравнения x4=16. Эти корни называются корнями четвертой степени из числа 16, а положительный корень (равный 2) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 16.

 

Вообще, при решении уравнения xn=a, a0, nN получается единственный неотрицательный корень. Он называется арифметическим корнем n-ой степени из числа a.


Арифметическим корнем натуральной степени n2 из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Обозначение: an

Выражение a называют подкоренным выражением. 

an=b   bn=a, a0, b0. 

В случае n=2, в обозначении корня 2 не пишут, а пишут a и называют «квадратный корень из числа a».

В случае n=3, называют «кубический корень из числа a».


Решим уравнение x3=-64.

Перенесем слагаемое из правой части в левую и разложим получившийся многочлен на множители (x+4)(x2-4x+4)=0. Если приравнять второй множитель x2-4x+4 к нулю, то дискриминант этого выражения будет отрицательным, значит x2-4x+4>0 для любого действительного x. Тогда x+4=0, x=-4. Получили, что уравнение x3=-64 имеет один действительный корень x=-4. Этот корень не является арифметическим, т.к. он отрицательный. Он называется кубическим корнем из числа -64 и обозначается -643=-4.

При решении уравнения xn=a в случае нечетности n и отрицательности a, т.е. при решении x2k+1=a, a<0 имеем только один отрицательный корень a2k+1. Он называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.

Так как -a=|a|, то a2k+1=--a2k+1=-a2k+1.
 

Например, -6254=-6254=-5.

Операция нахождения корня n-й степени из неотрицательного числа является обратной к возведению в соответствующую степень и называется извлечением корня n-й степени.


Пример 1

Вычислить -1253+0,000015-0,00814+-3433


Решение

-1253+0,000015-0,00814+-3433=-533+0,155-0,344+ 

+-733=-5+0,1-0,3-7=-12,2

          

Ответ: -12,2


Свойства арифметического корня n-ой степени

 

Пусть a0, b>0, mN, nN, kN, m2, n2
 

  1. abn=an×bn;
     
  2. abn=anbn;
     
  3. anm=amn;
     
  4. anm=amn;
     
  5. ankmk=anm;
     
  6. a2k2k=a, kN.

Вообще говоря, в свойстве 1 b может быть равным 0; в свойстве 3 в случае положительного значения am может быть любым целым.


Пример 2

Вычислить: 

 

а) 85×45;

б) 161643;

в) 310×13155;

г) 334×2236:364;

д) 0,00000001 4×625;

е) 5-6133 ×25+5613+61233.
 


Решение

 

а) 85×45=8×45=325=2;

б) 161643=125643=54=114;

в) 310 ×1315=5 310×3-155=3-55=13;

г) 33 4×223  6÷364=3184×2123364=3124×24=33×24=432;

д) 0,000000014×625=0,000000018×6254=0,1×5=0,5 ;

е) 5-6133×25+5613+61233=(5-613) (25+5613+612)33=

=53-613 33=125-613=4.

 

Ответ: а) 2;        б) 114 ;   в) 13 ;   г) 432;           д) 0,5;  е) 4.


Упражнение 1

Вычислить:

 

а) 11272163;

б) 275×95;

в)527×(15)189;

г)(323×224)6 : 823;

д)7-12733×49+71273+127233


Пример 3

Упростить выражения:
 

а) xy 6-y3x3-y3: xy6x6+y6, при x>0, y>0, xy;
 

б)yx23-xy3xy3,  при x>0, y>0.


Решение
 

а) xy6-y3x3-y3: xy6x6+y6=y6(x6-y6)x3-y3×x6+y6xy6=y6(x3-y3)(x3-y3)x6y6=1x6;
 

б) yx23-xy3xy3=x23y3(y23-x3)x3y3=x3(y23-x3)=xy23-x23.
 

 

Ответ: а) 1x6; б) xy23 - x23


Упражнение 2

Упростить выражения:

 

а) x23-y23x3-y3, где xy;
 

б)x-yx3-y3- xy3, где xy.


Пример 4

Избавиться от иррациональности в знаменателе 332+3+5.


Решение

 

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, а именно на (2+3)-5.
 

332+3+5=33((2+3)-5)((2+3)+5)((2+3)-5)=36+9-31526.

 

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 6.

 

36+9-31526=(36+9-315)×6266=18+96-39012=3(2+6-10)4.

 

Ответ: 3(2+6-10)4.


Упражнение 3

Избавиться от иррациональности в знаменателе 1452+5-7.

Заметим, корень четной степени имеет смысл только на множестве неотрицательных чисел, корень нечетной степени определен для любого действительного числа.


Пример 5

При каких x выражение имеет смысл:
 

a) x2-3x-44

б) x-54-x6


Решение
 

а) Так как дан корень четной кратности, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. x2-3x-40, (x-4)(x+1)0. Решив это неравенство, получим x(-;-1][4;+).
 

б) x-54-x0.

x(4;5]
 

Ответ: а) (-;-1][4;+); б)(4;5]


Упражнение 4

При каких x выражение имеет смысл:
 

а) 5-x9;

б) -x2+5x-68;

в) 8-xx+812.


Итак:

 

1. Арифметическим корнем натуральной степени n2 из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.
 

2. Решение уравнения x2k+1=a, a<0, kN называется корнем нечетной степени из отрицательного числа.
 

3. При a<0  a2k+1=--a2k+1=-a2k+1.
 

4. Пусть a0, b>0, mN, nN, kN, m2, n2
 

  • abn=an×bn;
  • abn=anbn;
  • anm=amn;
  • anm=amn;
  • ankmk=anm.

5. a2k2k=a, kN, aR.


Контрольные вопросы

  1. Что называют арифметическим корнем натуральной степени?
  2. Что называют корнем нечетной степени из неотрицательного числа?
  3. Какие свойства корня вы знаете?
  4. Найти область допустимых значений выражения:   a) 3x-46;   б)2x-75.


Ответы

Упражнение 1

 

а) 116;

б) 3;

в) 5;

г) 162;

д) 6.

 

Упражнение 2

 

а) x3+y3;

б) x23-y23.

 

Упражнение 3

 

72+10+142

 

Упражнение 5

 

a) xR;

б) 2;3;

в) (-8;8].


Десятичные и натуральные логарифмы

Логарифмы
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История