Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

План урока

Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла.

Цели урока

Знать и уметь выводить основную (общую) формулу для вычисления объёмов тел;
Уметь использовать интеграл для вычисления объёмов различных тел.

Разминка

Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, цилиндра?
Как с помощью интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?

Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

Рис. 1.

Одним из приложений определённого интеграла, который вы изучали в курсе алгебры, является вычисление объёмов тел. Пусть некоторое тело $T$ заключено между параллельными плоскостями $α$ и $β$ (рис. 1).

Введём систему координат таким образом, чтобы ось $O x$ была перпендикулярна к плоскостям $α$ и $β$ .

Введём следующие обозначения:

$a$ и $b$ – абсциссы точек пересечения плоскостей $α$ и $β$ с осью $O x$ соответственно $(a < b)$ ;

$Ф (x)$ – сечение тела $T$ плоскостью, перпендикулярной к оси $O x$ и проходящей через точку с абсциссой $x$ , $x \in [a; b]$ ;

$S (x)$ – площадь фигуры $Ф (x)$ .

Будем считать, что тело $T$ такое, что $Ф (x)$ является либо кругом, либо многоугольником при любом $x$ из отрезка $[a; b]$ (если $x = a$ и $x = b$ , то сечение – точка) и $S (x)$ является непрерывной функцией на отрезке $[a; b]$ .

Рис. 2.

Отметим точки $x_{0} = a, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} = b$ , разбивающие отрезок $[a; b]$ на $n$ равных отрезков. Через точки $x_{i}$ проведём плоскости, перпендикулярные к оси $O x$ (рис. 2). Проведённые плоскости разбивают тело $T$ на $n$ тел: $T_{1}, T_{2}, T_{3}, \dots, T_{n}$ .

Объём тела $T_{i}$ приближённо равен $S (x_{i}) \cdot ∆ x_{i}$ , где $∆ x_{i} = \frac{b - a}{n}$ .

Объём всего тела можно приближённо вычислить по формуле

$V \approx V_{n} =$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $S (x_{i}) \cdot ∆ x_{i}$ .

Чем больше $n$ (чем меньше $∆ x_{i}$ ), тем точнее приближённое значение $V_{n}$ , а при $n \to \infty$ (при $∆ x_{i} \to 0$ ) $V_{n} \to V$ , т.е. $V = \underset{n \to \infty}{l i m} V_{n}$ . При этом $\sum_{i = 1}^{n}$ $S (x_{i}) \cdot ∆ x_{i}$ является интегральной суммой для непрерывной функции $S (x)$ на числовом отрезке $[a; b]$ . Следовательно, $V = \underset{n \to \infty}{l i m} V_{n} = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .

Таким образом, мы получаем основную формулу для вычисления объёмов тел с помощью интеграла :

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$

Рассмотрим примеры нахождения объёмов тел с помощью интеграла.

Пример 1

Найдите объём конуса, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1.

Решение

Чтобы было удобно использовать определённый интеграл, расположим конус таким образом, чтобы ось конуса $S O$ была параллельна координатной оси $O x$ , а проекция вершины конуса $S$ на ось $O x$ была равна нулю (рис. 3).

Рис. 3.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси $O x$ и выразим площадь этого сечения как функцию от $x$ .

Из подобия треугольников $S A_{1} O_{1}$ и $S A O$ следует $\frac{S O_{1}}{S O} = \frac{A_{1} O_{1}}{A O}$ .

$S O_{1} = x; S O = 1; A_{1} O_{1} = R_{1}; A O = R = 2$

$\frac{x}{1} = \frac{R_{1}}{2} \Rightarrow R_{1} = 2 x$

$S (x) = π \cdot {R_{1}}^{2} = π \cdot (2 x)^{2} = 4 π x^{2} .$

Получили $S (x) = 4 π x^{2}$ . Подставим в основную формулу объёма тела.

$V = \int_{0}^{1} S (x) d x = \int_{0}^{1} 4 π x^{2} d x = {\frac{4 π x^{3}}{3}}_{0}^{1} = \frac{4 π}{3}$ .

Ответ: $\frac{4 π}{3}$ .

Пример 2

Найдите объём тела, полученного путём вращения вокруг оси $O x$ криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 3$ , $x = 5$ .

Решение

Рис. 4.

Так как рассматриваемое тело является телом вращения, то любое сечение плоскостью перпендикулярной оси вращения $O x$ – круг. При этом радиус равен значению функции $y = \sqrt{x}$ в точке $x$ , т.е. $R (x) = \sqrt{x} \Rightarrow S (x) = π {(\sqrt{x})}^{2} = π x$ .

Вычислим объём данного тела с помощью интеграла $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .

$V = \int_{3}^{5} π x d x = {\frac{π x^{2}}{2}}_{3}^{5} = \frac{25 π}{2} - \frac{9 π}{2} = \frac{16 π}{2} = 8 π$ .

Ответ: $8 π$ .

Если тело вращения получено вращением графика функции $y = f (x)$ вокруг оси $O x$ и ограничено плоскостями $x = a$ , $x = b$ , то его объем может быть вычислен по формуле:

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

Если тело вращения получено вращением графика функции $y = f (x)$ вокруг оси $O y$ и ограничено плоскостями $y = a$ , $y = b$ , то его объем может быть вычислен по формуле: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (y) d y$ .

Из основной формулы вычисления объемов тел следует, что отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия .

Пример 3

Фигура, заштрихованная на рисунке 5, вращается вокруг оси $O y$ . Найдите объем полученного тела вращения.

Решение

Рис. 5

Для того, чтобы воспользоваться формулой вычисления объема тела, полученного вращением графика функции $y = 0, 5 x$ вокруг оси $O y$ , преобразуем функцию $f (x)$ к виду $f (y)$ .

$y = 0, 5 \sqrt{x}$ ,

$y = \frac{1}{2} \sqrt{x}$ ,

$2 y = \sqrt{x}$ ,

$4 y^{2} = x$ .

Тогда

$V = π \int_{0}^{1} {(4 y^{2})}^{2} d y = π \int_{0}^{1} 16 y^{4} d y = \frac{16 y^{5}}{5} π 10 = \frac{16 π}{5}$ .

Ответ: $\frac{16 π}{5}$ .

Упражнение 1

1. Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси $O x$ фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{2}{5} x, y = 0, x = 0, x = 5$ .

2. Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси $O x$ фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}, y = 0, x = 1$ .

3. Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси $O x$ фигуры, ограниченной линиями $y = x^{2}, y = 0, x = 1$ .

4. Выведите формулу для вычисления объёма тела вращения с помощью определённого интеграла.

Контрольные вопросы

1. Что является сечением тел вращения плоскостью, перпендикулярной оси тела вращения?

2. Запишите основную формулу вычисления объёма тела с помощью определённого интеграла.

Ответы

Упражнение 1

1. $\frac{20 π}{3}$ ;

2. $\frac{π}{2}$ ;

3. $\frac{π}{5}$ .

Конспект урока: Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

Объем

Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла